设则当x→0时，下列结论中正确的是：（）。

设则当x→0时，下列结论中正确的是：（）。

A 、α (x) 与β (x) 是等价无穷小

B 、α (x) 是β (x) 的高阶无穷小

C 、α (x) 是β (x) 的低阶无穷小

D 、α (x)与β (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小

参考答案

【正确答案：D】

因为所以α (x) 与β (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小。主要考点：无穷小的比较。

设f（x）=x3，g（x）=x2，则当x→0+时，下列结论中正确的是（

）A．g（x）f（x）-1是x2的低阶无穷小，

令h（x）=g（x）f（x），

则lnh（x）=f（x）lng（x），

两边对x求导可得，

所以

h′（x）=h(x)f′(x)lng(x)+

即：（g（x）f（x））′=g（x）f（x）f′（x）lng（x）+f（x）g（x）f（x）-1g′（x）

=(x2)x3?(3x2)?(2lnx)+x3?(x2)x3?1?(2x)

=6x2x3+2lnx+2x2x3+2．

同理可得

（f（x）g（x））′=f（x）g（x）g′（x）lnf（x）+g（x）f（x）g（x）-1f′（x）

=6x3x2+1lnx+3x3x2+1．

利用洛必达法则，

=

=

=0，

=

=+∞．

所以g（x）f（x）-1是x2的高阶无穷小，f（x）g（x）-1是x2的低阶无穷小．

故选：B．

山西省2011年高中阶段教育学校招生统一考试数学

山西省2011年高中阶段教育学校招生统一考试

数学

第Ⅰ卷 选择题 (共24分)

一、选择题 (本大题共l2个小题，每小题2分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1. |-6|的相反数是(D)

A． B． C． D． 6

2.点(一2．1)所在的象限是(B)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限

3.下列运算正确的是（A）

A.B． C． D．

4．2011年第一季度．我省固定资产投资完成475.6亿元．这个数据用科学记数法可表示为（C）

A． 元 B． 元 C． 元 D. 元

5．如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（B）

A．35° B．70°C．110° D．120°

6．将一个矩形纸片依次按图(1)、图(2)的方式对折，然后沿图(3)中的虚线裁剪，最后将图(4)的纸再展开铺平，所得到的图案是（A）

7．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是(C)

A．正六边形B．正七边形C．正八边形 D．正九边形

8．如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是(B）

A．13π B．17π C．66πD．68π

分式方程 的解为(B)

A． B． C． D．

10．“五一”节期间，某电器按成本价提高30％后标价，-再打8折(标价的80％)销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是(A)

A． B．

C． D．

11．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为 (D)

A． cm B．4cm C． cm D． cm

12．已知二次函数 的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B)

A， B．方程 的两根是

C． D．当x&gt0时，y随x的增大而减小．

第Ⅱ卷 非选择题 (共96分)

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共l8分．把答案写在题中横线上)

13. 计算： _________（ ）

14．如图，四边形ABCD是平行四边形，添|加一个条件__________________，可使它成为矩形． （∠ABC=90°或AC=BD）

15．“十二五”时期，山西将建成中西部旅游强省，以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的丰要动力．2010年全省全年旅游总收入大约l000亿元，如果到2012年全省每年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为___________。（20%）

16．如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案(1)需要4根小棒，图案(2)需要10根小棒……，按此规律摆下去，第 个图案需要小棒________________根(用含有 的代数式表示)。（6n-2）

17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=AC，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB’C’，若AB=2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是___________ (结果保留π)。（ ）

18．如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是___________。（ ）

三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤）

19．(本题共2个小题．第1小题8分，第2小题6分，共14分)

（1）先化简。再求值：

，其中 。

解：原式= ，当 时，原式=

（2）解不等式组： ，并把它的解集表示在数轴上。

解：由①得，

由②得，

∴ 。

在数轴上表示略。

20．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E。已知C点的坐标是(6， )，DE=3．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式。

（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?

解：

（1）比例函数的解析式为

一次函数的解析式

（2）当 或 时。一次函数的值大于反比例函数的值，

21．(本题8分)小明与小亮玩游戏，他们将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌兖分洗匀后，背面朝上放在桌面上．规定游戏规则如下：先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数．则小明胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数．则小亮胜．

你认为这个游戏规则对双方公平吗?请用画数状图或列表的方法说明理由．

解：这个游戏规则对双方不公平。

理由如下。根据题意．画树状图为：

评分说明：如果考生在表中直接写成两位教，只要正确也可得4分．

由树状图(或表格)可以看出，所有可能出现的结果共有9种，分刎是：22，23，24，32．33，34，42，43，44，而且每种结果出现的可能性都相同，而其中组成的两位数是2的倍数的结果共有6种，是3的倍数的结果共有3种．

∴P(小明胜)= ，

∴P(小亮胜)=

∴P(小明胜)&gtP(小亮胜)， ∴这个游戏规则对双方不公平．

22．(本题9分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．

（1）实践与操作利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；

③连接BD，交⊙O于点F，连接AE，

评分说明：第①小题2分，第②小题2分，第③小题1分．如图．

若考生作两条边或三条边的垂直平分线不扣分．

(2)综合与运用 在你所作的图中，若AB=4，BC=2，则：

①AD与⊙O的位置关系是______．(2分)（相切）

②线段AE的长为__________．(2分)（ 或 ）

23.（本题10分）某班实行小组量化考核制．为了了解同学们的学习情况，王老师对甲、乙两个小组连续六周的综合评价得分进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：

综合评价得分统计表(单位：分)

（1）请根据表中的数据完成下表(注：方差的计算结果精确到0.1)

解：

平均数

中位数

方差

甲组

14

14

1.7

乙组

14

15

11.7

（2）根据综合评价得分统计表中的数据，请在下图中画出乙组综合评价得分的折线统计图．

解：折线图如右图．

（3）根据折线统计图中的信息，请你分别对甲、乙两个小组连续六周的学习情况作出简要评价．

解：从折线图可看出：甲组戚绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势．

乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．

评分说明：答案不唯一，只要符合题意即可得分．

24．(本题7分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 (即AB：BC= )，且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．

解：树DE的高度为6米。

25．(本题9分)如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：CE=CF．

证明：略

（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条

件不变如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

解：相等

证明：如图，过点E作EG⊥AC于G．

又∵ AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED=EG．

由平移的性质可知：D’E’=DE，∴D’E’ =GE．

∵∠ACB=90°． ∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D． ∴∠B+∠DCB=90°．

∴ ∠ACD=∠B

在Rt△CEG与Rt△BE’D’中，

∵∠GCE=∠B，∠CGE=∠BD’E’，CE=D’E’

∴△CEG≌△BE’D’

∴CE=BE’

由（1）可知CE=CF，

(其它证法可参照给分)．

26．(本题14分)如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线 经过O、C两点．点A的坐标为(8，o)，点B的坐标为(11．4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单 位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C—B相交于点M。当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒( )．△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为___________，直线 的解析式为___________．(每空l分，共2分)

(3,4)；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

解：根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：

①当 时，如图l，M点的坐标是（ ）．

过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥ x轴于E，可得△AEO∽△ODC

∴ ，∴ ，∴ ，

∴Q点的坐标是（ ），∴PE=

∴S=

②当 时，如图2，过点q作QF⊥x轴于F，

∵ ，∴OF=

∴Q点的坐标是（ ），∴PF=

∴S=

③当点Q与点M相遇时， ，解得 。

③当 时，如图3，MQ= ，MP=4.

S=

①②③中三个自变量t的取值稹围．……………………(8分)

评分说明：①、②中每求对l个解析式得2分，③中求对解析式得l分．①②③中三个自变量t的取值范围全对

才可得1分．

(3) 试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值。

．

解：① 当 时，

∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，

∴ 当 时，S随t的增大而增大。

∴ 当 时，S有最大值，最大值为 ．

②当 时， 。∵ ，抛物线开口向下．

∴当 时，S有最大值，最大值为 ．

③当 时， ，∵ ．∴S随t的增大而减小．

又∵当 时，S=14．当 时，S=0．∴ ．

综上所述当 时，S有最大值，最大值为 。

评分说明：①②③各1分，结论1分；若②中S与t的值仅有一个计算错误，导致最终结论中相应的S或t有误，则②与结论不连续扣分，只扣1分；

③中考生只要答出S随t的增大而减小即可得分．

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线 相交于点N。试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

解：当 时，△QMN为等腰三角形．