下列各点中为二元函数的极值点的是：（）。

发表时间：2024-07-22 15:41:37 来源：网友投稿

A 、(3，-1)

B 、(3，1)

C 、(1，1)

D 、(-1，-1)

【正确答案：A】

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆&gt0

(1) A&lt0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A&gt0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆&lt0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4&gt0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。另外也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

可导的极值点是驻点，驻点不一定是极值点

两个反例 z=(x^2+y^2)^（1/2)，（0,0）是极值点，但不是驻点

z=xy 驻点是（0,0），但不是极值点

二元函数极值点和驻点的定义：

1、极值点：若一个函数的某一点存在某一邻域，在该邻域内函数处处都有定义，而该点的函数值为最大（小），则该函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）值。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

2、驻点：函数的一阶导数为0的点。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。

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