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函数1/x展开成(x - 2)的幂级数是：

发表时间：2024-07-22 15:43:17 来源：网友投稿

A 、

B 、

C 、

D 、

参考答案

【正确答案：A】

由得到启发。

将函数f(x)=1/x展开为(x-2)的幂级数

f(n)(2)=(-1)^n*n!/2^(n+1)f(n)(2)/n!=(-1)^n/2^(n+1)f(x)=1/x=∑f(n)(2)*(x-2)^n/n!=∑(-1)^n*(x-2)^n/2^(n+1) n∈[0,+∞)ρ=lim|a(n+1)/an|=lim|2^n/2^(n+1)|=1/2收敛R=1/ρ=2所以-2

将函数f(x)=1/x展开成（x-2）的幂级数，并求展开式成立的区间。这道题怎么算？

利用常见函数的幂级数展开 1/(1-x) = Σ[n=(0,∝)] x^n，x∈(-1,1)所以f(x)=1/(x^2+5x+6) =1/[(x+2)(x+3)] =1/(x+2) - 1/(x+3) =1/[6+(x-4)] - 1/[7+(x-4)] =(1/6) * 1/[1+(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1+(x-4)/7] =(1/6) * 1/[1-(-1)*(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1-(-1)*(x-4)/7] =(1/6) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/6]^n - (1/7) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/7]^n =Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * { (1/6)*[(x-4)/6]^n - (1/7)*[(x-4)/7]^n } =Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ (x-4)^n / 6^(n+1) - (x-4)^n / 7^(n+1) ] =Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n 由(-1)*(x-4)/6∈(-1,1)，得x∈(-2,10) 由(-1)*(x-4)/7∈(-1,1)，得x∈(-3,11) 所以x∈(-2,10) 综上所述f(x) = 1/(x^2+5x+6) = Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n，x∈(-2,10)

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