等截面直杆， 轴向受力如图，杆的最大拉伸轴力是（）。

等截面直杆 轴向受力如图，杆的最大拉伸轴力是（）。

A 、10kN

B 、25kN

C 、35kN

D 、20kN

参考答案:

【正确答案：A】

设拉力为正压力为负，从右向左截面轴力依次为+10kN，-25kN，-20kN,所以最大拉力为10kN。

等截面直杆轴向拉压强度公式

拉(压)杆的强度条件公式及说明

拉（压）杆的强度条件公式及说明为了保证拉压杆在工作时不致因强度不够而失效。杆内的最大工作拉应力

σ_{t,max}

σ

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​

不得超过材料的许用拉应力

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​

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，杆内的最大工作压应力

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不得超过材料的许用压应力

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​

​

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，即要求（1）上述判据称为拉压杆的强度条件。对于一些抗拉强度与抗压强度相同的塑性材料，其许用拉应力等于许用压应力，这时就不再区分拉与压，统称为许用应力

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[

σ

​

]

，强度条件也就不区分拉与压，则上述强度条件变为（2）对于等截面拉压杆，最大应力必定出现在轴力绝对值最大的截面，式（2）可表达为（3）式（3）中,

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为杆内最大工作应力，

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​

为杆内产生轴力的最大绝对值， A为杆件横截面面积。通常在轴向拉（压）杆中，把

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​

所在截面称为危险截面；把

σ_{max }

σ

max

​

所在的点称为危险点。对于塑性材料的轴向拉（压）等直杆，其轴力最大绝对值截面就是危险截面。

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拉(压)杆的强度条件公式及说明

拉（压）杆的强度条件公式及说明

为了保证拉压杆在工作时不致因强度不够而失效。杆内的最大工作拉应力

σ_{t,max}

σ

t,max

​

不得超过材料的许用拉应力

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，杆内的最大工作压应力

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σ

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不得超过材料的许用压应力

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，即要求

（1）

上述判据称为拉压杆的强度条件。

对于一些抗拉强度与抗压强度相同的塑性材料，其许用拉应力等于许用压应力，这时就不再区分拉与压，统称为许用应力

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，强度条件也就不区分拉与压，则上述强度条件变为

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（2）

对于等截面拉压杆，最大应力必定出现在轴力绝对值最大的截面，式（2）可表达为

（3）

式（3）中,

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为杆内最大工作应力，

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​

max

​

为杆内产生轴力的最大绝对值， A为杆件横截面面积。通常在轴向拉（压）杆中，把

σ_{max }

σ

max

​

所在截面称为危险截面；把

σ_{max }

σ

max

​

所在的点称为危险点。对于塑性材料的轴向拉（压）等直杆，其轴力最大绝对值截面就是危险截面。

高分悬赏：画受力简图，并计算薄弱处受到的应力

根据上述现象可以得出如下的结论：

1．各横线代表的横截面在变形后仍为平面，仍垂直于杆轴，只是沿轴向作相对的移动。

2．各纵线代表的杆件的纵向纤维都伸长了相同的长度。

根据材料的均匀连续假设，当变形相同时受力也相同，因而知道横截面的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面，由此可得出结论：轴向拉伸时，杆件横截面上处产生正应力，且大小相等，若用A表示横截面的面积，N表示该截面的轴力，则正应力的计算公式为：σ＝N/A。

当杆轴受压缩时，公式同样适用，只是此时的轴力应为负数。另外在应用公式时杆的截面积应相同，即应为等截面直杆，否则应分段考虑。

例12-1：如图12.1.2a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d1＝200mm，d2＝150mm，承受轴向载荷F1＝30kN，F2＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。

图12.1.2a 图12.1.2b

解：

1、）计算轴力：AB段的轴力：NAB＝－F2＋F1＝－70kN（压）

BC段的轴力：NBC＝F1＝30kN（拉）

画出轴力图如图12.1.2b所示。

2）求横截面面积

AB段的横截面积：

BC段的横截面积：

3）计算各段正应力

AB段的正应力：

BC段的正应力：

负号表示AB上的应力为压应力。

二、材料的强度极限

前面讨论了杆件横截面的正应力，要判断它会不会破坏，还需要知道材料的承受能力，这就需要了解材料的力学性能，即在外力作用下材料所表现出来的物理性质，又叫材料的机械性能。

(一)低碳钢在轴向拉伸时的力学性能

低碳钢拉伸时的力学性能用实验的方法研究。实验时采用国家规定的标准试件，试件的几何尺寸如图12.1.3所示，试件中间工作部分的长度叫标距l。

图12.1.3

将试件夹在实验机 （图12.1.4）上，逐渐增加拉力后试件逐渐伸长，记录拉力P和伸长量 的数值，直到拉断为止。以拉力为纵坐标伸长量为横坐标，将两者的关系按一定的比例绘制成曲线，称为拉伸图，如图12.1.5所示。由于伸长量与标距及横截面的大小有关，使得相同的材料由于试件的尺寸不同得到的拉伸图也不同。为消除截面积和标距的影响，将纵坐标除截面积，用应力来表示，横坐标除以标距，用应变来表示。这样的曲线称应力应变图，如图12.1.6所示。一般实验机上都有自动的绘制装置，在实验过程中能自动绘出拉伸图。

图12.1.4 万能材料试验机

图12.1.5 拉伸图

图12.1.6 应力应变图

整个拉伸过程是连续的，为了研究的方便，将拉伸分为四个阶段，即弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。

1.弹性阶段

图中OB段，在弹性阶段时应力和应变成正比，应力应变图为一段斜线，把弹性阶段的最高点对应的应力叫弹性极限。用σp来表示。

2.屈服阶段

图中BC段，当应力超过弹性极限时，应变增加很快，应力在很小的范围内波动，应力应变图中是一段接近水平的锯齿形。这种应力基本不变应变显著增加，好象材料对外力屈服一样的阶段称屈服阶段。其中应力的最小值称屈服极限。用σs来表示。

材料达到屈服极限时，由于发生了较大的塑性变形，导致零件失效（不能正常工作）。45钢的屈服级限约为360MPa。

3.强化阶段

图中CG段，屈服阶段以后，材料重新产生了抵抗变形的能力，图12.1.6中上凸的曲线表明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称强化阶段。曲线最高点G所对应的应力称为强度极限，以σb表示。45钢的强度级限约为610MPa。

4.颈缩阶段

图GH段， 当应力到达强度极限之后，在试件薄弱处将发生急剧的局部收缩，出现“颈缩”现象。如图12.1.7所示。由于颈缩处截面面积减小，试件继续变形所需的拉力P也相应减少，用原始截面面积A算出的应力值也随之下降，曲线出现了GH段形状。至H点试件被拉断。

图12.1.7 颈缩现象

上述低碳钢拉伸的四个阶段中，有三个有关强度性质的指标，即比例极限σp、屈服极限σs和强度极限σb，σp表示了材料的弹性范围；σs是衡量材料强度的一个重要指标，当应力达到σs时，杆件产生显著的塑性变形，使得无法正常使用；σb是衡量材料强度的另一个重要指标，当应力达到σb时，杆件出现颈缩并很快被拉断。

（二）塑性指标

试件断列裂后，变形中的弹性部分随着荷载的消失而消失了，塑性变形残留了下来，试件断裂后所遗留下来的塑性变形的大小，常用来衡量材料塑性性能。塑性性能的指标有两个，分别是伸长率δ和截面收缩率ψ。

1.伸长率δ

试件拉断后的标距长度l减去原来的标距长度l，除以原标距l的百分比，叫伸长率。

45钢的伸长率为16%。工程上按伸长率的大小将材料分为两类， %的材料称塑性材料，如低碳钢、铝、铜等； %的材料称脆性材料，如铸铁、玻璃、石料等。

2、断面收缩率ψ

试件断裂后断裂处的最小截面积用A1来表示，则断面收缩率

45钢的断面收缩率为40%。

(三)铸铁拉伸时的力学性能

铸铁是典型的脆性材料，其拉伸时的应力应变图见图12.1.8所示，图中没有明显的直线部分， 从很低应力水平开始就是曲线，采用割线弹性模量。没有屈服、强化、局部变形阶段，断裂时的应力就是强度极限σb，强度极限σb是脆性材料的唯一的强度指标 。铸件的伸长率非常小，拉伸强度σb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。

图12.1.8

（四）低碳钢压缩时力学性能

图12.1.9中的 实线为低碳钢压缩时的应力应变曲线，虚线为其拉伸时的应力应变图，比较两者可以发现，在屈服阶段以前两曲线完全重合，在屈服阶段以后，压缩时的应力曲线是个无限向上的曲线。说明低碳钢压缩时的弹性极限、屈服极限同拉伸时的相同，压缩时由于压力增加，试件越压越扁，因此没有强度极限。

图12.1.9

（五）铸铁压缩时的力学性能

图12.1.10是铸铁压缩时应力应变曲线，与拉伸时相比较，形状相似，但压缩时的强度极限是拉伸时的4-5倍，伸长率也比拉伸时大，其他脆性材也有类似的性质，因此脆性材料适用于受拉的构件。

铸铁被压断后，破坏面与轴线大致成45 -55 ，即在最大切应力所在的面上破坏，说明了铸铁的抗剪切强度低于抗拉压强度。

图12.1.10

三、许用应力

任何材料都有其能够承受的最大的应力，我们称为极限应力σlim，对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，就发生显著的塑性变形，导致零件的失效，因此应取屈服极限为极限应力；对于脆性材料，达到强度极限时引起断裂，因此取强度极限为极限应力。即：

塑性材料：

脆性材料：

在实际工作中，有许多不利的因素无法估计，如其外力的作用、突然的振动冲击等，设计零件时只满足应力不超过极限应力不行的，往往需要留一定的安全储备，规定一个许用应力[σ]，要求工作应力不仅小于材料的极限应力，而且要小于许用应力。不同工作场合，要求的安全储备大小是不一样的，重要的场合安全储备必须大一点，安全储备的大小用安全系数n来衡量，三者的关系如下：

安全系数S为大于1的数，确定安全系数必须考虑载荷的性质、材料的均匀程度、工作条件等。在一般工程中，脆性材料的均匀性较差，断裂也比较突然，没有明显的“颈缩”，因此脆性材料的安全系数应比塑性材料的大。

塑性材料：

脆性材料：

四、强度计算

轴向拉伸和压缩时工作应力的最大值不得超过材料的许用应力，这就是轴向拉伸和压缩时的强度条件。即：

式中：σmax表示最大工作应力；

N表示最大工作应力对应横截面的轴力；

A表示最大工作应力对应横截面的面积；

[σ]为材料的许用应力。

我们把有最大工作应力的截面称为危险截面。显然强度条件只有对危险截面才有实际的意义。对于等直杆轴力最大的截面正应力也最大；对于截面直径变化的杆件，如阶梯轴，当轴力相同时截面积最小的截面正应力最大，但当轴力不同时需要分段计算各段的应力后，通过比较得出最大的正应力，即找出危险截面。

根据强条件可以解决工程实际中有关强度的三类问题：

1．强度校核 已知N、A、[σ]，代入强度条件（式12-5）验算工作时的最大应力σmax，如果小于材料的许用应力[σ]，强度即为合格。否则强度不合格。

2．设计截面 已知N、[σ],可计算构件所需的截面积，即

根据A可进一步求出直径d等其它尺寸。

3．确定许可载荷 已知A、[σ],可计算构件能够承受的最大的轴力，即

例12-2：气动夹具如图12.1.11所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径，

解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。

1．计算轴力

kN

2.设计截面

mm

根据 ，得出 mm

因此取d mm

图12.1.11

注意在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.

五、应力集中

等截面直杆受轴向拉伸和压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。但许多构件的截面尺寸有突然的变化，例如图12.1.12a、b所示的直杆上，横截面尺 寸发生了突然的变化，此处的应力会不会是均匀分布的呢？经过理论的分析可以得出截面变化处应力的分布情况，可见在截面尺寸变化附近的局部区域内，应力的数值显著增大，而在稍远处又迅速降低趋于均匀。这种由于构件外形的变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

请教力学题解答，谢谢！

离校久远回答仅供参考。把AB,BCCCD看成三段劲度相等的弹簧，然后假想BC两点分别向左，向右位移ΔL，分别画出它们的受力图。注意到AB,CD被压缩ΔL，而BC被拉伸2ΔL，所以它的恢复力=2kΔL再然后Fp-2kΔL-kΔL之后系统达到平衡。真的是没有把握了，再问问别人吧。