f'（x）连续，则等于（）。(C为任意常数）

发表时间：2024-07-22 15:52:21 来源：网友投稿

A 、f（2x+1）+C

B 、

C 、2f（2x+1）+C

D 、f（x）+C

【正确答案：B】

（1）选项B，设f（x）=x2，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=

x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．

（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=

x−

sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．

（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=

x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．

（4）选项A，由题意设F(x)

＝∫

f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)

＝∫

−x

f(t)dt+C

令u＝−t

∫

f(−u)du+C，

∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）

∴F（-x）=

∫

f(u)du+C＝F(x)

具体回答如下：

令u＝tanx/2

则sinx＝2u/(1＋u²)

cosx＝(1－u²)/(1＋u²)

dx＝2du/(1＋u²)

∫1/(sinx＋cosx)

＝∫2/(1＋2u－u²)du

＝√2/2∫［1/(u－(1－√2))－1/(u－(1＋√2))］du

＝√2/2ln|(u－(1－√2))/(u－(1＋√2))|＋C

＝√2/2ln|(tanx/2－1＋√2)/(tanx/2－1－√2)＋C

不定积分的意义：

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数，也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞&ltC&lt+∞}。

由此可知如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

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