比例环节的奈奎斯特曲线占据复平面中（　　）。

比例环节的奈奎斯特曲线占据复平面中（）。

A 、整个负虚轴

B 、整个正虚轴

C 、实轴上的某一段

D 、实轴上的某一点

参考答案:

【正确答案：D】

比例环节的频率特性为G（jω）=K，当频率ω由零到无穷大变化时，频率特性不变，因此奈奎斯特曲线为实轴上的某一点。

伯德图怎么看是0还是0.1

利用伯德图判断稳定性的准则是：幅值裕度GM0，相角PM裕度0。但是使用这一准则确定稳定性必须满足一个先决条件：系统的开环传递函数必须是最小相位系统。对于闭环系统，如果其开环传递函数的极点或零点的实部小于或等于零，则称为最小相位系统；如果开环传递函数中存在正实部的零点或极点，或者存在延迟环节，则称该系统为非最小相位系统。显然题主给出的G(s)是非最小相位系统。除了使用开环传递函数的伯德图，稳定性还可以由开环传递函数的根轨迹、开环传递函数的奈奎斯特曲线和闭环传递函数的零极点分布图来确定，如下所示。F=tf([8 1 100]，[2 3 -30])%开环传递函数子图(4，1，1) Gridonnyquist (f)%绘制开环传递函数子图的奈奎斯特曲线(4，1，2)rlocus(F)%绘制开环传递函数子图的根轨迹(4，1，2) 3)bode(F)% Bird G=feedback(F，1)%闭环传递函数子图(4，1，4)pzmap根据开环传递函数的奈奎斯特曲线，P=1(开环传递函数F(s)在机壳内的极点个数)n J)倍)Z=P-N=0，系统稳定。

2.从开环传递函数的根轨迹可以看出，根轨迹全部位于S的左半平面，系统是稳定的。

3.从闭环传递函数的零极点分布图可以看出，闭环传递函数在右半平面没有极点，系统是稳定的。综上所述系统是稳定的。伯德图是一种扩展的数据分析方法，可以用来计算负反馈系统的增益裕度和相位裕度，进而确认系统的稳定性。相关符号定义：首先定义以下符号：其中：AFB是考虑反馈时的放大器增益(闭环增益)，是反馈系数AOL是不考虑反馈时的放大器增益(开环增益)。当开环增益AOL远大于1时，闭环增益AFB可通过以下方式近似计算。当开环增益AOL远小于1时，闭环增益AFB可通过以下方式近似计算。AOL是频率的复函数，具有幅度和相位。上式中如果AOL乘积=1，增益可能是无穷大(即不稳定)。(如果用大小和相位表示，AOL的大小为1，相位为-180度。这个条件称为巴克豪森稳定性准则。有了伯德图不仅可以判断系统是否稳定，还可以判断系统离上述不稳定条件有多近。在判断系统的稳定性时，会用到以下两个频率。第一频率f180是乘积的相位正好为-180度时的频率，第二频率f0dB是乘积的绝对值|AOL|=1时的频率(如果用分贝表示，则为0dB)。频率f180可以通过以下公式计算：其中||表示复数的绝对值(例如|a jb|=[a b])。

长沙理工大学期末考试，自动控制原理试卷

2

2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中 为黏性摩擦系数， 为弹簧系数，系统的输入量为力 ，系统的输出量为质量 的位移 。试列出系统的输入输出微分方程。

解：显然，系统的摩擦力为 ，弹簧力为 ，根据牛顿第二运动定律有

移项整理得系统的微分方程为

2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。

解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得

整理得

2-3 求下列函数的拉氏变换。

（1）

（2）

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

2-4 求下列函数的拉氏反变换

（1）

（2）

（3）

解：

（1）

（2）

（3）

2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容 上的电压为 ，电容 上的电压为 ，以此类推）。

图2-3 习题2-5 无源网络示意图

解：（a）设电容 上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系的微分方程为

（b）设电容 、 上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

整理得输入输出关系的微分方程为

（c）设电阻 上电压为 ，两电容上电压为 ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

（1）

（2）

（3）

（4）

（2）代入（4）并整理得

（5）

（1）、（2）代入（3）并整理得

两端取微分并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为

2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。

图2-4 习题2-6示意图

解：（a）由图得

（1）

（2）

（2）代入（1），整理得传递函数为

（b）由图得

（1）

（2）

整理得传递函数为

（c）由图得

（1）

（2）

（3）

（4）

整理得传递函数为

2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。

解：由图得

整理得

2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数 和 。

解：（a）

⑴求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：

① 令 ，利用反馈运算简化如图2-8a所示

②串联等效如图2-8b所示

③根据反馈运算可得传递函数

⑵求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：

①令 ，重画系统结构图如图2-8c所示

② 将 输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示

③ 和 串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示

④串并联合并如图2-8f所示

⑤根据反馈和串联运算，得传递函数

（b）求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：

①将 的引出端前移如图2-8g所示

②合并反馈、串联如图2-8h所示

③ 将 的引出端前移如图2-8i所示

④ 合并反馈及串联如图2-8j所示

⑤根据反馈运算得传递函数

2-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数 。

解：求传递函数 ，按下列步骤简化结构图：

① 将 的引出端前移如图2-9a所示

② 合并反馈及串联如图2-9b所示

③ 合并反馈、串联如图2-9c所示

④根据反馈运算，得传递函数

2-10 根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数 和 。

解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。

（1）令 ，求系统传递函数

由信号流图2-10a可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

， ，

与 互不接触

流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

（2）令 ，求系统传递函数

由信号流图2-10a可见，从源节点 到阱节点 之间，有两条前向通路，其增益为

，

有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

，

没有互不接触的回路，所以流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

，

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。

求系统传递函数

由信号流图2-10b可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

， ，

与 互不接触

流图特征式为

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

2-11 根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数 。

解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示

由信号流图2-11a可见，从源节点 到阱节点 之间，有一条前向通路，其增益为

有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为

， ，

没有互不接触回路。因此流图特征式

由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式

根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为

3

3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述： ，其中 。试证明系统的动态性能指标为 ， ，

解：

由系统的微分方程可得其传递函数 ，在单位阶跃输入作用下，由于 ，所以有

当 时，显然有

解之得

由于 为 从 上升到 这个过程所需要得时间，所以有

其中

由上式易解出

则 ，当 时，显然有

解之得

3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：

（1） ；

（2） ；

（3） 。

解：

（1）

（2）

（3）

3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的超调量 ，峰值时间 和调节时间 。

解：

＝

由上式可知此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。

由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为

所以有

解上述方程组，得

所以此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下

超调量

峰值时间

调节时间

3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。

解题过程：

由题意可得系统得闭环传递函数为

其中 。这是一个比例－微分控制二阶系统。

比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为

故显然有

此系统得动态性能指标为

峰值时间

超调量

调节时间

3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为 ，试确定系统的阻尼比 和自然频率 。

解：

系统的单位脉冲响应为

系统的闭环传递函数为

自然频率

阻尼比

3-6 已知系统特征方程为 ，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。

解：

先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下

显然由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在 右半平面有两个闭环极点。因此该系统不稳定。

再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然特征方程的各项系数均为正，则

显然此系统不稳定。

3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。

解：

由题得特征方程是

列劳斯表

由题意令 所在行为零得

由 行得

解之得 ，所以振荡角频率为

3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试确定系统稳定时的 值范围。

解：

由题可知系统的特征方程为

列劳斯表如下

由劳斯稳定判据可得

解上述方程组可得

3-9系统结构如图3-1所示， ，定义误差 ，

(1) 若希望图a中，系统所有的特征根位于 平面上 的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的 的取值范围。

(2) 求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。

(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的 值。

解：

（1）闭环传递函数为

即

，代入上式得，

列出劳斯表

(2) ，系统为I型系统 ∴

(3)

并没有改变系统的稳定性。

3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数：

（1） ；

（2）

试求输入分别为 和 时，系统的稳态误差。

解：

（1）

由上式可知该系统是 型系统，且 。

型系统在 信号作用下的稳态误差分别为： 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ，该系统在输入为 时的稳态误差为

（2）

由上式可知该系统是 型系统，且 。

型系统在 信号作用下的稳态误差分别为： 。根据线性叠加原理有该系统在输入为 时的稳态误差为 ，该系统在输入为 时的稳态误差为

3-11已知闭环传递函数的一般形式为

误差定义为 。试证

（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件

（4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系

解：

（1）

满足终值定理的条件，

即证

（2）

满足终值定理的条件，

即证

(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为

同理可证

（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。

3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

（1） ；

（2） ；

（3）

试求位置误差系数 ，速度误差系数 ，加速度误差系数 。

解：

（1） 此系统是一个 型系统，且 。故查表可得 ， ，

（2） 根据误差系数的定义式可得

（3） 根据误差系数的定义式可得

3-13设单位反馈系统的开环传递函数

输入信号为

其中 , , , i, , 均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差 &lt, 其中 , 试求系统各参数满足的条件。

解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为

式中 ,为系统的开环增益，各参数满足：

,

即稳定条件为

由于本例是I型系统，其 , ,故在 作用下，其稳态误差

必有

于是即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为

3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为 。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为 时，系统的稳态误差。

解：

系统的误差传递函数为

所以有

对上式进行拉氏反变换可得

（1）

当 时，显然有

将上述三式代入（1）式，可得

系统的稳态误差为

3-15 假设可用传送函数 描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的 的数值。如果给容器加热，使水温依 的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?

解：

由题意该一阶系统得调整时间 ，但 ，所以 。

系统输入为 ，可推得

因此可得

的稳态分量为

稳态误差为

所以稳态误差为

3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差 在输入端定义，扰动输入 .

(1) 试求 时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。

(2) 若 , 其结果又如何？

(3) 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 ，对其结果有何影响？

在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 ，对其结果又有何影响？

解：令 ， ，

则 代入

得

令 ，得扰动作用下的输出表达式：

此时的误差表达式为：

若在s 右半平面上解析，则有

在扰动输入下的稳态输出为

代入 的表达式，可得

（1） 当 时，

（2） 当 时，

可见开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。

（3） 若 加在扰动之前，则

得

若 加在扰动之后，则

可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。

3-17 设随动系统的微分方程为：

其中 为系统输出量， 为系统输入量， 为电动机机电时间常数， 为电动机电磁时间常数， 为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：

（1） 、 与 之间关系对系统稳定性的影响

（2） 当 , , 时，可否忽略 的影响？在什么影响下 的影响可以忽略？

解：

（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程

当 均为正值时，且有

即时 闭环系统稳定。

（2）由于 ，因此只有当

闭环系统才稳定，显然，对于 , 闭环不稳定。此时若略去 ,

闭环特征方程为

上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果

。如果 ，则略去 不会影响闭环稳定性。

对于本例当 时，不能忽略 对稳定性的影响，否则可以忽略。

5

5-1 设系统闭环稳定，闭环传递函数为 ，试根据频率特性的定义证明，输入为余弦函数 时，系统的稳态输出为

解：

由题目可得

对等式两边同时进行拉氏变换可得

由于系统闭环稳定，所以 不存在正实部的极点。假设 可表示为如下表达式

由以上分析可得，系统的闭环传递函数为

对上述闭环传递函数作如下分解

对上式等式两边进行拉氏反变换可得

由系统稳态输出的定义可得

利用留数法确定待定的系数

所以可得

5-2 若系统阶跃响应为：

试确定系统频率特性

解：

单位阶跃输入信号的拉氏变换为

系统单位阶跃响应的拉氏变换为

系统的闭环传递函数为

将 代入传递函数 可得

5-3 设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号

作用下系统的稳态误差 。

解：

如图5-1所示，系统的误差传递函数为

其幅频特性和相频特性分别为

当 时

5-4已知系统开环传递函数

；

试分析并绘制 和 情况下的概略幅相曲线。

解：

由题可知系统的频率特性如下

由于系统 ，所以开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧

当 时，

当 时，

又由于 ，所以有

当 时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4a所示；

当 时，开环幅相曲线始终处于第二象限，如图5-4b所示。

5-5 已知系统开环传递函数

试分别绘制 时系统的概略开环幅相曲线。

解：

由题目可知系统的频率特性如下

当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。

若 ，则

若 ，则

由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。

若 ，则

若 ，则

由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。

若 ，则

若 ，则

由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

当 时，开环幅相曲线要用虚线补画 的半径为无穷大的圆弧。

若 ，则

若 ，则

由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5a所示。

5-6已知系统开环传递函数

试分别计算 和 时，开环频率特性的幅值 和相位 。

解：

系统的开环频率特性表达式如下

当 时

此时

当 时

此时

5-7 绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线

a．

b．

c．

d．

5-8 已知系统开环传递函数

试绘制 的对数频率特性曲线，并算出截止频率 。

解：由题可得

则

因此

对数频率特性曲线如图5-8a所示

又 ，可得 ，即

计算可得

5-9 已知系统开环传递函数为：

a．计算截止频率 。

b．确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率。

c．绘制对数幅频特性曲线。

解：

计算可得

当 时，斜率为 ；

当 时，斜率为 ；

当 时，斜率为 ；

当 时，斜率为 ；

绘制对数幅频特性曲线，如图5-9a所示。

5-10 利用奈氏判据分别判断题5-4，5-5系统的闭环稳定性。

解：

(1) 对于题5-4的系统，分 和 的两种情况来讨论系统的闭环稳定性。

当 时，系统的开环幅相曲线如图5-4a所示，由图可知，系统的开环幅相曲线不包围 ，根据奈奎斯特判据可得

又由系统得开环传递函数可知

即 ，闭环系统在 右半平面无极点， 时闭环系统稳定。

当 时，系统的开环幅相曲线如图5-4b所示，由图可知，

又由系统得开环传递函数可知

即 ，闭环系统在 右半平面有2个极点， 时闭环系统不稳定。

(2) 对于题5-5的系统，其开环幅相曲线如图所示，由图5-5a可知

当 时， ，又由系统得开环传递函数可知

即 ，闭环系统在 右半平面无极点， 时闭环系统稳定。

当 时， ，又由系统得开环传递函数可知

即 ，闭环系统在 右半平面有2个极点， 时闭环系统不稳定。

5-11 用劳斯判断据验证题5-10的结果。

解：

（1）对于题5-4的系统，由题得闭环系统特征方程为

列劳斯表

则当 时， ，即第一列各值为正，即闭环系统稳定；

当 时， ，即第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定。

（2）对于题5-5的系统，由题得闭环系统特征方程为

，即

当 时，列劳斯表

第一列各值为正，即闭环系统稳定；

当 时，列劳斯表

第一列各值不全为正，即闭环系统不稳定；

当 时，情况与 相同，即闭环系统不稳定。

5-12 已知三个系统的开环传递函数为

，

，

，

又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分别对应的奈奎斯特曲线，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性

解：三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为

对 式， ，

则 ，故系统稳定；

对 式， ，

则 ，故系统稳定；

对 式， ，

则 ，故系统稳定；

5-13 已知系统开环传递函数

；

试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件：

a． 时， 值的范围；

b． 时， 值的范围；

c． ， 值的范围。

解：

由系统的开环传递函数可知，系统的开环曲线图如图5-13a所示

由于 ，故想要闭环系统稳定，必有 ，即幅相曲线不包围点 。

系统的频率特性表达式如下

、 时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得

、 时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得

、对于开环幅相曲线与实轴的交点有

由上式可得 ，则交点的实轴坐标为

由上式可得

5-14 某系统的开环传递函数为

要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性：

a． ；

b． ；

c． ；

d． 。

解：

a． 当 时， ，

其开环幅相曲线如图5-14a所示， ，

则 ，故在 平面右半平面有2个闭环极点，闭环系统不稳定；

b．当 时，

若 ，则

若 ，则

其开环幅相曲线如图5-14b所示， ，

则 ，故系统不稳定；

c． 当 时，

若 ，则

若 ，则

其开环幅相曲线如图5-14c所示， ，

则 ，故系统不稳定；

d．当 时，

由 可得 ,

故可得其开环幅相曲线如图5-14d所示， ，

则 ，故系统稳定。

5-15 已知反馈控制系统的开环传递函数为

，

如果闭环系统不稳定，闭环传递函数会有几个极点在复数平面的右半平面？

解：

当 时，

当 时，

由于系统不稳定，故可得其开环幅相曲线如图5-15a所示

由图可得 ，

则 ，故闭环传递函数有2个极点在复数平面的右半平面。

5-16 设控制系统的结构图如图5-3所示。

a．求出开环传递函数；

b．画出对数相频特性曲线；

c．求出临界开环比例 和截止频率 ；

d．用奈氏判据判断该系统是否稳定，如果稳定再分别求出当输入信号 和 的情况下系统的静态误差。

解：

（a）系统开环传递函数为

（b）

，

，

（c）

，

，

系统开环频率特性为

与实轴的交点

故幅相曲线为

当 时，系统临界稳定，得

当 时， ，系统稳定

当 时， ，系统不稳定

当 时， ，

当 时，

5-17 已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。

a．写出其开环传递函数；

b．画出其相频特性草图，并从图上求出和标明相角裕度和幅值裕度；

c．求出该系统达到临界稳定时的开环比例系数值 ；

d．在复数平面上画出其奈奎斯特曲线，并标明点 的位置。

解：

（1）确定系统积分或微分环节的个数。因对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为 ，由图，低频渐近斜率为 ，故 ，系统含有2个积分环节。

（2）确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线，其各转折点对应的频率为所含一阶或二阶环节的交接频率，每个交接频率处斜率的变化取决于环节的种类。

处，斜率变化 ，对应微分环节；

处，斜率变化 ，对应惯性环节；

处，斜率变化 ，对应惯性环节。

因此所测系统具有下述传递函数

其中 待定。

（3）低频渐近线方程为

由给定点 ，得

故所测系统传递函数为

5-18设单位反馈控制系统的开环传递函数

试确定相角裕度为 时的参数值。

解：

系统的频率特性表达式为

设系统的截止频率为 ，则由相角裕度的定义可得

即

又由于

由上式得

所以

5-19 若高阶系统的时域指标为 ， ，试根据经验公式确定系统的截止频率和相角裕度的范围。

解：根据经验公式，

根据题意有

可求得

5-20 典型二阶系统的开环传递函数

若已知 ，试确定相角裕度 的范围；若给定 ，试确定系统带宽 的范围。

解：由于 且 ，

可解得

而根据题意

又有 ，且

故计算可得：

5-21 设二阶系统如图5-5(a)所示。若分别加入测速反馈校正， （图5-5(b)）和比例-微分校正， （图5-5(c)），并设 ， ，试确定各种情况下相角裕度 的范围，并加以比较。

解：(a)由题意可知系统开环频率特性

， ，

设 为截止频率，当 时，则有

和

把 代入上式，得：

，

(b)由题意可知系统开环传递函数为

其开环频率特性为

设 为截止频率，当 时，则有

和

把 ，设 ，代入上式，得：

，

(c)由题意可知系统开环传递函数为

，其中

其开环频率特性为

，

设 为截止频率，当 时，则有

和

把 ，设 ，代入上式，得：

，

5-22 已知单位反馈系统的开环幅相特性曲线如图5-6所示。当 时，系统幅值裕度 ，穿越频率 ，试求输入为 ，幅值裕度为下述值时，系统的稳态误差。

a．

b．

解：设系统开环传递函数为：

开环系统幅频特性为：

系统的开环频率特性为：

解得

当 有 ，

得

则系统开环传递函数可写成

系统与实轴的交点为

当 时， ，

当 时， ，

5-23 设单位反馈系统如图5-7所示。其中 ； 时，截止频率 ，若要求 不变，问 与 如何变化才能使系统相角裕度提高至 ？

解：开环系统幅频特性为：

相频特性为：

当 时，

，把 代入得：

若要求相角提高 ，即要求 提高 ，设调整后的系统相频特性为：

调整后的 值为： ， 值不做调整。

5-24 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

试绘制系统的对数频率特性曲线，并据此确定：

a．求 时的相角裕度；

b．求 时的幅值裕度；

(1)解： 开环系统幅频特性为：

令 ，当 时，得

开环系统相频特性为：

，当 时，有

(2) 解：开环系统的频率特性为：

令其虚部为零，即

得

5-25 若单位反馈系统的开环传递函数

试确定使系统稳定的 值。

解：

系统的频率特性表达式为

由上式可得系统的幅频特性和相频特性分别为

系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ，此时

由上式可得

显然当 时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。

故 的取值范围为

5-26 设单位反馈系统的开环传递函数

试确定闭环系统稳定时，延迟时间 的范围。

解：

系统的频率特性表达式为

由上式可得系统的幅频特性和相频特性分别为

系统临界稳定时开环幅相曲线穿过点 ，此时

由幅频特性可得

解之可得（舍去）

又 即

显然当 时，由奈奎斯特稳定判据可得系统闭环稳定。故 的取值范围为

请教奈奎斯特曲线

奈奎斯特曲线对应的是w与G(jw)关系，曲线与虚轴的交点可以通过求解相角ψ（w)＝±90º＋2kπ得到对应的w带入G(jw)即可得出与虚轴交点，而同理与实轴交点可求解上述相角方程等于-180时的w并带入