.若级数收敛，则下列级数中不收敛的是：

.若级数收敛，则下列级数中不收敛的是：

A 、

B 、

C 、

D 、

参考答案:

【正确答案：D】

利用级效性质易判定选项A、B、C均收敛。对于选项D，

若级数∑收敛，那么下列级数收敛的有（）

A和C都是收敛的。

设∑an的前n项和是Sn，Sn收敛。∑(an+a(n+1))的前n项和是2Sn-a1+a(n+1)，也收敛。

通项an=根号(n+2)-根号(n+1)-【根号(n+1)--根号(n)】

=1/【根号zhi(n+2)+根号(n+1)】--1/【根号(n+1)+根号(n)】。

因此级数的前n项的和为--1/【根号(2)+根号(1)】+1/【根号(n+2)+根号(n+1)】，

当n趋于无穷，收敛于--1/【根号(2)+根号(1)】

扩展资料：

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0

迭代算法的敛散性

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|&ltδ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

参考资料来源：百度百科-收敛

高等数学——无穷级数

一般的如果给定一个数列

则由这数列构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 ，即

其中第项叫做级数的一般项。

作（常数项）级数的前项的和

称为级数的部分和，当依次取时，它们构成一个新的数列

如果级数 的部分和数列有极限 ，即

称无穷级数 收敛，这时极限叫做这级数的和，并写成

如果没有极限，则称无穷级数 发散。

显然当级数收敛时，其部分和是级数的和的近似值，它们之间的差值

叫做级数的余项，用近似值代替和所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 。

性质 1 如果级数 收敛于和 ，则级数也收敛，且其和为 。

结论：级数的每一项同乘以一个常数后，它的收敛性不会改变。

性质 2 如果级数、 收敛于和 ，则级数 也收敛，且其和为

结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。

性质 4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数

仍收敛且其和不变。

推论 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。

性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即

柯西审敛原理 级数 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当时，对于任意的正整数 ，都有

定理 1 正向级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界（各项均为正数或零的级数称为正向级数）。

&ltbr /&gt

定理 2（比较审敛法） 设 和都是正向级数，且 ，若级数收敛，则级数收敛，若级数发散，则级数发散。

&ltbr /&gt

推论 设 和都是正向级数，如果级数收敛，且存在正整数 ，使当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。

&ltbr /&gt

定理 3（比较审敛法的极限形式） 设 和都是正向级数，

(1) 如果 ，且级数收敛，则级数 收敛；

(2) 如果 或 ，且级数发散，则级数发散。

&ltbr /&gt

定理 4（比值审敛法 达朗贝尔判别法） 设 为正向级数，如果

则当时级数收敛， 时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。

&ltbr /&gt

定理 5（根值审敛法 柯西判别法） 设 为正向级数，如果

则当时级数收敛， 时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。

&ltbr /&gt

定理 6（极限审敛法） 设 为正向级数，

(1) 如果 ，则级数发散。

(2) 如果 ，而 ，则级数收敛。

&ltbr /&gt

定理 7（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件：

(1) ；

(2)

则级数收敛且其和 ，其余项的绝对值 。

（交错级数的各项是正负交错的）

&ltbr /&gt

绝对收敛与条件收敛 如果级数 各项的绝对值所构成的正向级数 收敛，则称级数 绝对收敛；如果级数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛。

&ltbr /&gt

定理 8 级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。

&ltbr /&gt

定理 9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）。

&ltbr /&gt

定理 10（绝对收敛级数的乘法） 设 和都绝对收敛，其和分别为和 ，则它们的柯西乘积

也是绝对收敛的，且其和为 。

如果给定一个定义在区间上的一个函数列

则由这函数列构成的表达式

称为定义在区间 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

在收敛域上函数项级数的和是的函数 ，称 为函数项级数的和函数，并写成

各项都是幂函数的函数项级数称为幂级数，它的形式是

其中常数叫做幂级数的系数。

定理 1 如果幂级数当时收敛，则适合不等式的一切使这幂级数绝对收敛。反之如果级数当时发散，则适合不等式的一切使这幂级数发散。

推论 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的存在，使得

当时幂级数绝对收敛；

当时幂级数发散；

当时幂级数可能收敛也可能发散。

正数通常叫做幂级数的收敛半径，开区间叫做幂级数的收敛区间。

定理 2 如果

其中 、 是幂级数相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径

性质 1 幂级数的和函数在其收敛域上连续。

性质 2 幂级数的和函数在其收敛域上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

性质 3 幂级数的和函数在其收敛区间上可导，并有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

假设函数在点的领域内能展开成幂级数，即有

根据和函数的性质可知，在内具有任意阶导数，且

由此可得

于是

这就说明如果函数 有幂级数展开式 ，那么该幂级数的系数由公式确定，即该幂级数必为

而展开式必为

幂级数叫做函数 在点处的泰勒级数，展开式叫做函数 在点处的泰勒展开式。

定理 设函数在点的领域内具有各阶导数，则在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内的泰勒公式中的余项当的极限为零，即

当时在式中，取 ，得

级数称为函数 的麦克劳林级数，如果能在内展开成的幂级数，则有

式称为函数 的麦克劳林展开式。

常用的幂级数展开式

对式两边从到积分，可得

对式两边求导，即得

把式中换成 ，可得

把式中换成 ，可得

对上式从 到积分，可得

二项展开式

设是周期为的周期函数，且能开展称三角级数

其中

如果中的积分都存在，这时他们定出的系数叫做函数的傅里叶系数，将这些系数代入式右端，所得的三角级数

做函数的傅里叶级数。

当为奇函数时， 是奇函数， 是偶函数，故

即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

当为偶函数时， 是偶函数， 是奇函数，故

即偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

定理（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设是周期为的周期函数，如果它满足

(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，

(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，

则的傅里叶级数收敛，并且

(1) 当是的连续点时，级数收敛于 ；

(2) 当是的间断点时，级数收敛于

定理 设周期为的周期函数

下列哪个数列不是收敛的？

(1), |sin(k)/2^k| &lt= 1/2^k,

a(k) = |sin(k)/2^k| &lt= 1/2^k,

b(n) = sum_{k=1-&gtn}a(k) &lt= sum_{k=1-&gtn}1/2^k &ltsum_{k=1-&gt正无穷}1/2^k = 1/(1-1/2) = 2,

{b(n)}单调递增，b(n)&lt2,有上界，因此{b(n)}收敛，

所以u(n)绝对收敛 u(n)收敛。

(2), |cos(k!)/[k(k+1)]| &lt= 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)

a(k) = |cos(k!)/[k(k+1)]| &lt= 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1),

b(n) = sum_{k=1-&gtn}a(k) &lt= sum_{k=1-&gtn}[1/k - 1/(k+1)] = 1 - 1/(n+1) &lt1

{b(n)}单调递增，b(n)&lt1,有上界，因此{b(n)}收敛，

所以u(n)绝对收敛 u(n)收敛。

（3），交错级数，和的极限为ln(2)...收敛

（4），u(2n),与u(2n-1)的极限不同 说明，u(n)无极限 不收敛