幂级数的和函数S (x)等于()。
幂级数的和函数S (x)等于()。
A 、
B 、
C 、
D 、cosx
参考答案:
【正确答案：C】
求幂级数的和函数S(x)
x^n/[n(n+1)]=x^/n-x^n/(n+1)；S(x)=∑{x^n/[n(n+1)]}=∑{x^/n-x^n/(n+1)}=∑(x^n/n)-∑[x^n/(n+1)]；设H=∑(x^n/n)，则S=H-(H-x)/x；从下列函数的幂级数展开式ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+Rn(x)，(|x|<1) ；arctanh(x)=x+x^3/3+x^5/5+...，(|x|<1) ；比较可知 H=2arctanh(x)-ln(1+x)；所以 S(x)=H-(H-x)/x=1+(x-1)H/x=1+(x-1)*[2arctanh(x)-ln(1+x)]/x；(|x|<1) ；
幂级数的和函数怎么求？谢谢！
当 x=0 时,S(0)=0.当 x≠0 时,
S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),
S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)
= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'
= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,
得 S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了 x=0 的情况.
收敛域 -1
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