一阶系统的单位阶跃响应的动态过程为（　　）。

一阶系统的单位阶跃响应的动态过程为（）。

A 、直线上升

B 、振荡衰减，最后趋于终值

C 、直线下降

D 、按指数规律趋于终值

参考答案:

【正确答案：D】

当系统输入信号为单位阶跃函数，系统输出就是单位阶跃响应，如图4-3-1所示，一阶系统的单位阶跃响应的动态过程为一条由0开始，按指数规律单调上升，且最终趋于终值1的曲线。响应曲线也是具有非震荡特征，又称非周期响应。 图4-3-1 一阶系统的单位阶跃响应

这是什么公式？（论文《灰色模型在桥梁状态预测中的应用》其中引用的）

跟我们学自动化控制的

3.4.1一阶系统的单位阶跃响应

对于单位阶跃输入

r(t)=1(t)，R(s)=1/s

于是

由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应c(t)为

c(t)=1-e-t/T (t≥0)

上式表示一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图3-4所示。

图3-4 一阶系统的单位阶跃响应

由图可知c(t)的初始值为0，最终将变为1。当t=T时，c(t)的数值等于0.632，或者说响应c(t)达到了总变化的63.2%。当经过的时间t=3T、4T时，响应将分别达到稳态值的95%或98%。从数学观点来分析，只有当时间t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。但实际上都以响应曲线达到稳态值的2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则响应速度愈快。

3.4.2一阶系统的单位脉冲响应

当单位脉冲输入

r(t)=δ(t)，R(s)=1

这时有

相应的系统单位脉冲响应为

c(t)= e-t/T

其响应曲线如图3-5所示。

图3-5 一阶系统的单位脉冲响应

3.4.3线性定常系统的重要特性

比较系统对这二种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来求出。同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。

输入信号t导数d(t)/dt=1 ，单位阶跃响应c(t)为 c(t)=1-e-t/T (t≥0)

输入信号t的响应[t-T(1-e-t/T)]导数为1-e-t/T

极为相似

一阶系统的特征

一阶电路一般只有一种(电感或电容)储能元件,其微分方程为一阶方程。求解一阶电路其实不必解微分方程，只要概念清楚，用三要素法解足够了。2017-02-180月之心一、一阶系统用一阶微分方程描述的系统。

二、一阶系统典型的数学模型 三、典型输入响应1.单位阶跃响应

。y(t)的特点：

（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。

（2）是一单调上升的指数曲线。

（3）当t=t时，y=0.632。

（4）曲线的初始斜率为1/t。性能分析：

（1）超调量σ% 不存在。

（2）ts=3t或4t。

2.单位斜坡响应y(t)的特点：

（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。

（2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时间常数“t”。

3.单位抛物线响应y(t)的特点：输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。

4.单位脉冲响应y(t)的特点： y(∞) 为t→∞ 时的输出值。对一阶系统典型输入响应的两点说明：

（1）当输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入。

（2）三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。

四、二阶系统典型的数学模型例：对应的系统结构图：对应的微分方程：二阶系统典型的数学模型：开环传递函数开环传递函数五、典型二阶系统的单位阶跃响应 在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时特征方程：特征方程的根：二阶系统响应特性取决于ξ 和 wn两个参数，在ξ 不变情况下取决于 wn 。

1.过阻尼（ξ &gt1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应： 响应曲线： 2.欠阻尼（ξ &lt1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应： 响应曲线： 3.临界阻尼 （ξ =1）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：响应曲线：4.无阻尼 （ξ =0）的情况特征根及分布情况：阶跃响应：响应曲线：结论：

1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。

2、实际工程系统只有在 0&ltξ&lt1才具有现实意义。

六、二阶系统动态特性指标二阶系统的闭环传递函数为：对应的单位阶跃响应为：当阻尼比为 0&ltξ&lt1时，则系统响应如图1.上升时间 ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。对于二阶系统，假定情况 0&ltξ&lt1下，暂态响应：令t=tr 时，则y(tr)=1经整理得2.最大超调量σ％ ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。即： 最大超调量发生在第一个周期中时刻 t=ttp ，叫 tp 峰值时间。在 t=tp 时刻对y(t) 求导，令其等于零。 经整理得将其代入超调量公式得3.调节时间 ts ：输出量y(t) 与稳态值y(∞) 之间的偏差达到允许范围（±2%～±5%），并维持在允许范围内所需要的时间。结论：若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ξ，wn 。wn 增大可使t s 下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中k=4。

（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；

（2）求该系统的超调量和调节时间；

（3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大倍数k？解（1）系统的闭环传递函数为 写成标准形式

可知

（2）超调量和调节时间 （3）要求ξ=0.707 时，七、提高二阶系统动态性能的方法1.比例——微分（pd）串联校正未加校正网络前：加校正网络后： 校正后的等效阻尼系数：2.输出量微分负反馈并联校正未加校正网络前：加校正网络后：两种校正方法校正后等效阻尼系数：由于 可得 由于阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态性能。2017-02-19

什么是灰色模型？

如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。