在图示xy坐标系下，单元体的极大主应力大致指向（）。

在图示xy坐标系下，单元体的极大主应力大致指向（）。

A 、第一象限，靠近x轴

B 、第一象限，靠近y轴

C 、第二象限，靠近x轴

D 、第二象限，靠近y轴

参考答案:

【正确答案：A】

图示单元体的最大主应力σ1的方向，可以看作是σx的方向（沿x轴）和纯剪切单元体的最大拉应力的主方向（在第一象限沿45°向上），叠加后的合应力的指向。(此题2011年考过）

塑性内变量是否可以减小？为什么？

§1.1 应力与点的应力状态

1.1.1 外力

塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。例如锤上模锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置在上模。

对外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯性力，也可转化为一种等效“静力”，仍可采用静力平衡法来分析。

1.1.2 内力

内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内部各部分之间相互平衡的力。

研究内力时首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后再运用理论力学的静力平衡方法来求解。

1.1.3 应力

应力是单位面积上的内力（见图1-1），其定义式为：

Sn=dP/dA （1.1）

图1-1 应力示意图 图1-2 平行于坐标面上应力示意图

其中dA为假想截面某处的微面积，d P 为微面积上“作用”的内力。Sn 为力矢量。可以将 Sn 分解成平行于dA外法线n向的正应力 和“作用”在dA内的切应力 或者二个正交的切应力。特别是当dA分别为平行于直角坐标系下三个坐标面时，其应力分解如图1-2所示。每个应力分量的符号带有两个下角标。第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名），第二个角标表示该应力所指的方向。正应力分量的两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如 可简写成 。

切应力分量的正负号规定如下：外法线指向坐标轴正向的面为正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正方向上的切应力分量为正；在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量也为正。即两个角标同号为正，异号为负。正应力分量则以拉为正，压为负，

由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即 ， ， 。

1.1.4 点的应力状态

应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的面。这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。

现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、dz，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过M点（见图1-3）。斜面外法线n的方向余弦分别为：

（1. 2）

设斜面上的全应力为Sn，它在三个坐标轴上的投影为Sx， Sy， Sz。Sn在n上的分量为 ，在作用面上的分量为 。列四面体的力平衡方程，即 有：

（1. 3）

或用矩阵形式表达成

（1. 4）

常用求和约定简记成

（1. 5）

式中若i=j， 表示正应力； 时， 为剪切应力。于是：

（1. 6）

（1. 7）

（1. 8）

从上面可以看出，过M点任意斜面上的应力情况取决于 以及方向斜弦 。只要知道三个坐标面上的应力 ，则该点任意斜面上的应力均可求出。因此一点的应力状态可用 来描述，即：

中，行表示应力作用方向（或作用面），列表示应力作用面（或应力作用方向）。 称作应力张量。数学上可以证明 为一个二阶对称张量。

假设四面体的斜面正好是物体的外表面，则（式1.5）、（式1.6）、（式1.7）、（式1.8）给出了应力边界条件，即表面上应力与物体内部应力的关系式。

§1.2 点的应力状态分析

由前可知过一点任意斜面上的应力情况取决于 与li。当 给定后，应力大小只与斜面的方位有关。改变方向总可以得出一些特殊的应力值。

1.2.1 主应力与应力张量不变量

主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。

设主应力为 ，当 为主方向时，有 ， ， ，代入（式1.3），整理，有：

（1. 9）

求解 的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得

（1. 10）

其中 称作应力张量的第一、二、三不变量。

（1. 11）

可以证明式（1. 10）有三个不同的实根设为 且它们是相互正交的，习惯上有 的约定。

以上分析表明， 一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因此一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是当坐标轴与主轴相重合时， 的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。

求得主应力 之后，代回式（1. 9）中的任意二式，再结合 ，便可求出 相对于 轴的方向余弦。

1. 2. 2 主切应力

改变方向总有若干方向使 为主切应力，其作用面为主切平面。

若以主应力表示，则式（1. 8）为：

（1. 12）

求解 ，结合 ，可得以下六组解。

表1.1 的极值解

组织

方向余弦

项目 一 二 三 四 五 六

±1 0 0 0

0 ±1 0

0

0 0 ±1

0

0 0 0

前三组为主平面，其上的 为零，绝对值为极小。后三组为主切平面，其上的 绝对值为极大，其方向总是与主平面成45°。当有 时，有最大剪切应力

（1. 13）

1. 2. 3 八面体应力与等效应力

在主应力空间中，每一挂限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个挂限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。因为有：

由式（1. 7），式（1.12），有：

借助于I1， I2，又有：

（1. 14）

（1. 15）

为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力 （应变能相同的条件下），也称相当应力。

（1.16）

至此由 引出了三种殊应力面，如图1-4所示。它们是：

Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。

Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。

Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。

§1.3 应力张量的分解与几何表示

1. 3. 1 应力张量的分解

塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此可以把 分解成与体积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设 为平均应力，则有：

（1. 17）

按照应力叠加原理， 具有可分解性。因此有：

（1. 18）

式中当 时， ；当 时， 。

上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。

值得一提的是， 只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。

应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 。

（1. 19）

表明应力偏张量已不含平均应力成份。 与屈服准则有关（见第二章），反映了物体形状变化的程度。 反映了变形的类型： 表示广义拉伸变形； =0表示广义剪切变形， &lt0表示广义压缩变形。

1. 3. 2 主应力图

表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具有九种可能的组合，如图1-5所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加以理解。由 ，决定了 只可能有三种状态，而也有三种可能，即 ，所以 应该有九种可能。

主应力图是定性分析塑性加工时工件受力状况类型的一种手段。

1. 3. 3 主应力空间与π面

若以 为坐标轴，构成主应力空间，则一点的应力状态可用一矢量来表示，如图1-6所示。

这是 为应力偏量对应的矢量， 与 成等倾角，为应力球张量对应的矢量。可以证明 。 必正交于下列过原点的平面。

（1. 20）

这是一个平均应力为零的平面，称为应力 平面。因 的三个分量 满足下列关系

（1. 21）

所以 总是在 平面内，可以用二个几何参数来表示。

，方向：与 成等倾角

方向： 平面内

的方向可用 在 平面上投影 与 的夹角 表示。 求法如下：将坐标系旋转，使 平面成水平面。如图1-7所示。过Q点作以 为法线的平面，该平面与 O 投影面交于AB，显然AB⊥ 平面。则四面体OQBA为直角△四面体。而

其中 为 在 空间的方向余弦。由四面体几何关系，有

同理：

所以

（1. 22）

三式相乘得：

（1. 23）

于是只要知道任意一点的应力状态 ，就可通过下式求出

（1. 24）

引入应力空间和 平面后，使得一点的应力状态表示更为直观。尤其是 平面的引入，可以使与塑性变形有关的应力表示和分析更为简单。

§1. 4 应力平衡微分方程

应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间 关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。

1.4.1 直角坐标下的平衡微分方程

假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为 ， （见图1-8）。假设 的连续可导则有

假设 连续可导，则有

列六面体力平衡，则有

（1. 25）

简记作

或 （1. 26）

图1-8 直角坐标系微体受力 图1-9 柱坐标系下微体受力

1. 4. 2 柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程

对柱坐标系（图1-9）平衡微分条件 ，有：

（1. 27）

对球坐标系（图1-10）平衡微分方程 ，有：

(1. 28)

§1. 5 应变与位移关系方程

物体变形时内部各质点都在运动，质点在不同时刻所走的距离称作位移。而变形则是指二点间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变属相对变形，它是由位移引起的。

研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过10-3~10-2的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。

1.5.1 几何方程

设任意点的位移在三个坐标轴上的投影为 。与该点无限接近的相邻点位移分量为 。由于物体的连续性，设 处连续可导，再考虑到小变形，因此有：

二点间的绝对位移差则为：

（1. 29）

其中 表示位移梯度张量，是位移的变化率，它是不对称二阶张量。将 分解得：

（1. 30）

第一项为一对称张量，正是小变形下的应变张量，记为 ，即几何方程

（1. 31）

第二项为一反对称张量，对应于单元体的刚体转动张量。

有明显的几何意义。它的分量分别表示坐标单元体棱边沿坐标轴方向上的相对伸长或缩短（当i = j时）以及二棱边所夹直角改变量的一半（当 时）。可以通过考察单元体三个坐标面上的投影变化加以证实。如图1-11所示。棱边ab沿x轴的应变为 ；同理 。

由于小变形有 ，故

同理 ，因此 ，取 ， 为理论剪应变。

式（1. 31）中的 为正应变或线应变，伸长为正，缩短为负， 等为切应变，使二棱角减小为正，增大为负。

不同坐标系下的几何方程表达形式有所不同。柱坐标系下的几何方程为：

（1. 32）

球坐标系的几何方程为（

（1. 33）

1.5.2 变形连续方程

如已知一点的 ，要根据几何方程确定其三个位移分量时，六个应变分量应有一定的关系，才能保证物体的连续性。这种关系为变形连续方程或协调方程。

从几何方程可导出以下二组变形连续方程。

（1. 34a）

（1. 34b）

式（1.34a）是每个坐标平面内应变分量之间应满足的关系；式（1.34b）是不同平面内应变分量之间应满足的关系。

假如已知位移分量Ui，利用几何关系求得 ，自然满足连续方程。如用其他方法求得的应变分量，则必须按式（1. 34a）或式（1. 34b）检验其连续性。在塑性加工中，有时用体积不变条件作近似检验，从而避免了偏微分运算。

§1. 6 点的应变状态

借助于一点的应力状态概念来描述一点的应变状态，即过某一点任意方向上的正应变 与切应变 的有无情况。可以用一微线段在某方向上的变形来加以描述。

1.6.1 任意方向上的应变

设过某点三个相互垂直线上的应变 均为已知（见图1-12）。则有 ， ， ， 。变形后位移差为 ，则有：

由于 ，而 ，则有

所以 （1. 35）

由图1-12可知

（1. 36）

将式（1. 35）、式（1. 36）与任意斜面上应力表达式（1. 7）、式（1. 8）比较，形式完全相似。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。

1.6.2 应变张量与特征值

从式（1. 35）、式（1. 36）均可看出， 取决于 与 。类似于应力张量，有应变主轴，其上只有正应变，无切应变，称为主应变，用 表示。也有主切应变 ：

（1. 37）

八面体上的正应变 与切应变 ：

（1. 38）

（1. 39）

应变张量可分解成球张量与偏张量：

（1. 40）

相应地有应变张量不变量：

（1. 41）

（1. 42）

定义了弹性等效应变 与塑性等效应变 ，使不同应变状态下的变形具备了可比性。

（1. 43）

式中 为泊松系数。

（1. 44）

§1. 7 应变增量

1. 7. 1 全量应变与增量应变的概念

前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变。其度量基准是变形以前的原始尺寸。而增量应变则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程中某一瞬间的尺寸。引入增量应变是由塑性变形量较大的特点所决定的。

从几何学的观点看，塑性变形与弹性变形并无多大差别，但与应力联系起来时，它们就表现出巨大的差别。这一点在第2章将要详细讨论，这里仅作简单说明。弹性变形是线性可逆的，应变状态与应力状态同步，与加载过程无关。而塑性变形是非线性不可逆的。加载时产生新的塑性变形，卸载时已产生的塑性变形不随应力而变。因此塑性变形是历次变形的叠加结果，并不一定是单值地对应于应力状态，或者说与应力状态不同步，因此全量应变在塑性变形中的应用受到很大限制。但是在加载中，每一瞬间的应力状态一般与增量应变相对应。所以求解塑性加工问题时，通常采用增量应变。

1. 7. 2 增量应变张量

设变形体中某质点从此瞬间起，经过无限小时间dt的位移量为dUi，由于dt很小，dUi及其对坐标的微分亦必然很小，因此类似于应变张量的定义，有：

（1. 45）

增量应变与小变形应变张量一样，具有三个主方向，三个主应变增量 ，三个不变量等特殊值，只需用 替换 即可。

从定义可以看出， 是位移增量对坐标的微分，是从瞬时位置起算的微小应变，能更准确地描写物体的变形。 描写的是瞬时情况和过程，而 只能描写变形的起始近似结果。也正因为二者起点不一样，基准不一样，一般有 。只有在小变形情况下才有 。

同理在一般情况下， 是求不出来的，并且没有确定的物理意义。如果应变路径已知，则 可以求得。在主轴方向始终不变时， 具有物理意义，即对数应变。例如单拉时主方向不变，任一瞬间长度方向上的应变增量为 。 为瞬时长度，则

在小变形下 二次项以上的高次项可以忽略，这时才有 ，即小变形下有 。

§1. 8 应变速度张量

应变速度对塑性变形功率及热变形过程中力能参数的计算有着重要意义。

设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移速度。代入式（1. 45），有：

第一第二第三主应变怎么求

如下公式：

横轴是正应力，竖轴是切应力，其中σ1、σ2、σ3是三个主应力。从图像中可知三个小应力圆分别对应有一个切应力极大值，三个切应力极大值中有一个是切应力最大值。极大值切应力便称为主切应力。tmax=+(σ1-σ3)/2t,min=-(σ1-σ3)/2,也就是三个应力圆中大圆的半径。

材料力学的研究内容包括两大部分：

1、材料的力学性能（或称机械性能）的研究，材料的力学性能参量不仅可用于材料力学的计算，而且也是固体力学其他分支的计算中必不可缺少的'依据；

2、对杆件进行力学分析。杆件按受力和变形可分为拉杆、压杆(见柱和拱)、受弯曲（有时还应考虑剪切）的梁和受扭转的轴等几大类。杆中的内力有轴力、剪力、弯矩和扭矩。杆的变形可分为伸长、缩短、挠曲和扭转。