设函数，其中f（u）具有二阶导数，则等于（）。

设函数其中f（u）具有二阶导数，则等于（）。

A 、

B 、

C 、

D 、

参考答案:

【正确答案：D】

本题考查多元函数的混合偏导数求解。

设函数f(u)具有二阶导数，而z=f((e^x)*sin(y))满足方程d^2(z)/d^2(x^2)+d^2(z)/d(y^2)=e^(2*x)*z,求f(u).

令u=e^x*siny，则z=f(u)

∂z/∂x=∂z/∂u*∂u/∂x=f'(u)*e^x*siny=uf'(u)，∂²z/∂x²=∂(uf'(u))/∂x=uf'(u)+u²f''(u)

∂z/∂y=f'(u)*e^x*cosy，∂²z/∂y²=∂(f'(u)*e^x*cosy)/∂y=f''(u)*e^(2x)*cos²y-f'(u)*e^x*siny=f''(u)*e^(2x)*cos²y-uf'(u)

故∂²z/∂x²+∂²z/∂y²=uf'(u)+u²f''(u)+f''(u)*e^(2x)*cos²y-uf'(u)=u²f''(u)+f''(u)*e^(2x)*cos²y=f''(u)*[e^(2x)*sin²y+e^(2x)*cos²y]=f''(u)*e^(2x)=e^(2x)*z

所以有f''(u)=z=f(u)，积分可得：f(u)=C1e^u+C2e^(-u) (C1、C2为任意常数)

设函数f(u)在(0, ∞)内具有二阶导数，且z=f(√x^2 y^2),f(0)=0, f'(1)=1,

z=f(√(x^2+y^2))

u=√(x^2+y^2) ∂u/∂x=x/u ∂u/∂y=y/u

∂z/∂x=f'(u)(x/u) ∂²z/∂x²=[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3

∂z/∂y=f'(u)(y/u) ∂²z/∂y²=[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3

由[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3+[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3=0

即：u²f'(u)+uu²f''(u)=0

f'(u)+uf''(u)=0

这方程可以解了。

设函数f(u)在(0, ∞)内具有二阶导数，且z=f(√x^2 y^2)满足等式

z=f(√(x^2+y^2))

设u=√(x^2+y^2). u'x=x/u u'y=y/u

1.z'x= f'(u)x/u, z''xx=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2

z'x= f'(u)y/u, z''yy=[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2

由于z''xx+z''yy=0

0=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2+[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2

=f''(u)-f'(u)/u

2.f''(u)-f'(u)/u=0,解为：f'(u)=Cu

由f'(1)=1，C=1 f'(u)=u ,f(u)=u^2/2+C, f(1)=0,C=-1/2

所以：f(u)=u^2/2-1/2