对平面简谐波而言，波长λ反映（ ）。

对平面简谐波而言，波长λ反映（ ）。

A 、波在时间上的周期性

B 、波在空间上的周期性

C 、波中质元振动位移的周期性

D 、波中质元振动速度的周期性

参考答案:

【正确答案：B】

波动传播时同一波线上的两个相邻质点（相位之差为2π）之间的距离称为波长λ。波长反映了波在空间上的周期性。

可以通过平面简谐波的波速判断其传播方向吗？解释一下

y=acos(bt+cx)=acos(b(t+cx/b))平面简谐波的标准表达式：y=acos[ω(t-x/u)+φ]：其中ω=2πf=b，频率f=1/t，周期t=1/f=2π/ω=2π/b；波速u=b/c；波长λ=ut=2π/c；若c/b为正，则沿负半轴方向传播，若c/b为负，则沿正半轴方向传播

平面简谐波的波形图是什么什么关系

贡献者： addis

预备知识 矢量内积，简谐振子

1通常我们说 “波” 时，它几乎可以是任意形状的，例如一个波包，或者从一点向各个方向传播的球面波。但我们这里讨论一种最简单的波动，即延单一方向传播的简谐波，也叫做简谐平面波（sinusoidal plane wave）。在任意时刻它在传播方向的波形是一个简谐函数，即正弦或余弦平移一个相位，且范围是无穷大。“平面” 这个词的由来是因为三维空间中其等相位面都是平面（见下文），但广义来说平面波所在的空间可以是任意维度的，例如二维薄膜上的类似波动不叫作 “直线波” 而仍叫 “平面波”，一维波动例如弦的波动也同理。当然在一维情况下直接叫简谐波最合适，因为没有 “等相位线/面” 的概念。

在任何维度中，简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。广义来说平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。用词的具体含义读者可以容易地通过上下文判断出来。

1. 一维简谐波

我们先来看一个一维的简谐波，一个常用的例子是一根无限长的弦，静止的时候弦与

x

x 轴重合，在任何时刻

t

t，弦的波函数（即形状）可以用

y

(

x

,

t

)

y(x,t) 来描述。若

y

(

x

,

t

)

=

A

cos

(

k

x

−

ω

t

+

ϕ

0

)

(1)

(1)y(x,t)=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0)

则我们把这个波函数称为一维简谐波，如图 1 所示2。

图 1：一维简谐波

我们定义图中的

A

A 为振幅，定义一个空间周期为波长（wave length），记为

λ

λ。与波长一一对应的一个量是式 1 中的

k

k，称为波数（wave number）。波长与波数的关系可以类比简谐振子 的角频率

ω

ω 与时间周期

T

T 的关系，即

k

=

2

π

λ

(2)

(2)k=2πλ

我们再来看波函数随时间的变化，如果在弦的某个位置做一个标记并观察其运动，则式 1 中

x

x 可视为常数，我们立即得到一个简谐振动，角频率为

ω

ω，初相位为3

−

k

x

−

ϕ

0

−kx−ϕ0。

我们在观察简谐波的时候，通常会想象它在移动（虽然弦上每个点的

x

x 坐标并不改变），我们把这种移动的速度叫做波速（wave velocity）

v

v。把式 1 稍作整理得

y

(

x

,

t

)

=

A

cos

[

k

(

x

−

ω

k

t

)

+

ϕ

0

]

(3)

(3)y(x,t)=Acos⁡[k(x−ωkt)+ϕ0]

由于函数

f

(

x

−

x

0

)

f(x−x0) 可以看做

f

(

x

)

f(x) 向

x

x 轴正方向平移

x

0

x0 得到的函数，上式也可以看做

t

=

0

t=0 时刻的波函数向

x

x 轴正方向平移

ω

t

/

k

ωt/k 得到的波函数。将平移距离除以

t

t 就得到了单位时间移动的距离，即波速

v

=

ω

k

(4)

(4)v=ωk

如果将

ω

=

2

π

/

T

ω=2π/T 和

k

=

2

π

/

λ

k=2π/λ 代入上式，得到波速的另一个表达式

v

=

λ

T

(5)

(5)v=λT

这里的

T

T 是振动周期。也可以令振动频率

f

=

1

/

T

f=1/T，则上式又变为

v

=

λ

f

(6)

(6)v=λf

2. 横波与纵波

以上我们看到的波函数表示横波，即质点振动的方向与波的传播方向垂直。与横波相对的另一类波叫做纵波，即质点振动方向与波的传播方向相同。纵波的波函数与横波相同，只是函数值的意义由垂直方向的位移改为了平行方向的位移（不妨记为

ξ

ξ）

ξ

=

A

cos

(

k

x

−

ω

t

+

ϕ

0

)

(7)

(7)ξ=Acos⁡(kx−ωt+ϕ0)

广义来说振幅可以是一个任意方向的矢量

A

A，它可以既不平行也不垂直于传播方向，此时它可以认为是横波和纵波的叠加。

3. 二维和三维的平面简谐波

为了方便下文我们直接称多维的平面简谐波为简谐波。

图 2：二维平面简谐波

如图 2 ，我们可以用函数

z

(

x

,

y

,

t

)

z(x,y,t) 表示一个二维的简谐波（横波）。波长的定义与一维情况相同，在

k

=

2

π

/

λ

k=2π/λ 的基础上我们还需要一个传播方向，我们定义波矢

k

k 的方向为波速的方向。 观察图中的波可以发现，沿波矢方向移动

l

l，相位变化为

k

l

kl，沿垂直波矢方向移动

l

l，相位不改变，沿任意其他方向移动

l

l，相位变化为

k

l

cos

θ

klcos⁡θ，其中

θ

θ 是移动方向与

k

k 方向的夹角。垂直于波矢的任意直线就是二维简谐波的等相位面（线）。我们可以用矢量的点乘来表示相位随空间的变化

Δ

ϕ

=

k

⋅

Δ

r

=

k

x

Δ

x

+

k

y

Δ

y

(8)

(8)Δϕ=k⋅Δr=kxΔx+kyΔy

于是我们可以写出波函数为

z

=

A

cos

(

k

⋅

r

−

ω

t

+

ϕ

0

)

(9)

(9)z=Acos⁡(k⋅r−ωt+ϕ0)

要表示纵波同样把

z

z 换位

ξ

ξ 即可。

类似地三维空间中的简谐波可表示为

s

=

A

cos

(

k

⋅

r

−

ω

t

+

ϕ

0

)

(10)

(10)s=Acos⁡(k⋅r−ωt+ϕ0)

其中

k

k 和

r

r 是三维矢量。注意这里的

r

r 表示介质静止时某质点的位矢。如果波函数表示横波，矢量振幅

A

A 必须垂直于波矢

k

k，其方向叫做极化方向。如果波函数表示纵波，

A

A 必须与

k

k 同向。

光是横波光的偏振方向就是指

A

A 的方向，所以光有两个相互垂直的偏振方向。

4. 复数形式

预备知识 振动的指数形式

用复数表示波函数，往往可以化简书写和计算。类比式 3 ，我们可以把简谐波表示为指数形式4

~

s

=

A

exp

[

i

(

k

⋅

r

−

ω

t

+

ϕ

0

)

]

(11)

(11)s~=Aexp⁡[i(k⋅r−ωt+ϕ0)]

注意只有实部表示质点的位移，虚部无物理意义。通常也可以把初相位合并到振幅中，令复振幅为

~

A

=

A

e

i

ϕ

0

(12)

(12)A~=Aeiϕ0

则上式记为

~

s

=

~

A

exp

[

i

(

k

⋅

r

−

ω

t

)

]

(13)

(13)s~=A~exp⁡[i(k⋅r−ωt)]

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

2. ^ 需要注意的是，图中的横轴是位置

x

x 而不是时间

t

t，要避免将质点振动的位移—时间图与该图混淆。

3. ^ 由于余弦函数是偶函数，我们不妨将

cos

cos 的自变量取相反数使

ω

t

ωt 的符号为正。

4. ^ 现在我们知道为什么振动的指数形式中

ω

t

ωt 要带一个负号了，这样就可以让波动的指数形式中

k

⋅

r

k⋅r 项为正。

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平面简谐波的波动方程

平面简谐波动方程y=Acos[w(t-x/u)+φ]，设u为波速，λ为波长，T为周期，A为振幅，为振动的圆频率，为初相。平面简谐波是最基本的波动形式。平面传播时若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。