高中数学全部公式有哪些

数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征：确定性,互异性,无序性.

集合元素的互异性：如：,,求；

（2）集合与元素的关系用符号,表示.

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集.

（4）集合的表示法：列举法,描述法,韦恩图.

注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；

；

（5）空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

注意：条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况.

如：,如果,求的取值.

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线（面）的关系；

符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系.

（2）；；

（3）对于任意集合,则：

①；；；

②；；

；；

③；；

（4）①若为偶数,则；若为奇数,则；

②若被3除余0,则；若被3除余1,则；若被3除余2,则；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是.

（2）中元素的个数的计算公式为：；

（3）韦恩图的运用：

四、满足条件,满足条件,

若；则是的充分非必要条件；

若；则是的必要非充分条件；

若；则是的充要条件；

若；则是的既非充分又非必要条件；

五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的；

注意：“若,则”在解题中的运用,

如：“”是“”的条件.

六、反证法：当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立,

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.

正面词语等于大于小于是都是至多有一个

否定

正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个

否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若,；问：到的映射有个,到的映射有个；到的函数有个,若,则到的一一映射有个.

函数的图象与直线交点的个数为个.

二、函数的三要素：,,.

相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

①,则；②则；

③,则；④如：,则；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数的定义域是,求的定义域.

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为,扇形面积为,则；定义域为.

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围；常用来解,型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.

⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

求下列函数的值域：①（2种方法）；

②（2种方法）；③（2种方法）；

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

复合函数法和图像法.

应用：比较大小,证明不等式,解不等式.

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系.f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数.

判别方法：定义法,图像法,复合函数法

应用：把函数值进行转化求解.

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律.

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考）

平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数,要先提取系数.如：把函数y＝f(2x)经过平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象.

（ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量（m,n）平移的意义.

对称变换y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→y=－f(x),关于x轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称.（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换.

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如：的图象如图,作出下列函数图象：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）.

五、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件：；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系：；

（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程,解出,若有两解,要注意解的选择；②将互换,得；③写出反函数的定义域（即的值域）.

（5）互为反函数的图象间的关系：；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数,它一定不存在反函数.

如：求下列函数的反函数：；；

七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：,当时,是增函数；当时,是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式：；对称轴方程是；顶点为；

两点式：；对称轴方程是；与轴的交点为；

顶点式：；对称轴方程是；顶点为；

①一元二次函数的单调性：

当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法,化为的形式,

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则

时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则

时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定,区间也固定.如：

(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.

(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数．

③二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则：

根的情况

等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根

充要条件

注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况,可先利用在开区间上实根分布的情况,得出结果,在令和检查端点的情况.

（3）反比例函数：

（4）指数函数：

指数运算法则：；；.

指数函数：y=(a>o,a≠1),图象恒过点（0,1）,单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和01和00)是等比数列.

25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn}(c>0且c1)是等差数列.

26.在等差数列中：

（1）若项数为,则

（2）若数为则,,

27.在等比数列中：

（1）若项数为,则

（2）若数为则,

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3

②(an>0)如an=

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=

33、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求

(1)当>0,d0时,若,则；

,,.

(2)当a