高中数学问题求大神解答

第一个柯西就够了

第二题

∑1/a^3(b+c)=∑(abc)^2/a^3(b+c)=∑(bc)^2/(ab+ac)

根据柯西不等式或者权方和不等式得

∑(bc)^2/(ab+ac)>=(ab+bc+ac)^2/(2ab+2bc+2ac)=(∑ab)/2

然后均值得(∑ab)/2>=3(abc)^(2/3)/2=3/2

所以∑1/a^3(b+c)>=3/2

2次取等条件a=b=c

第三题

证明据二元均值不等式得:

√[2(4a+1)]≤(2+4a+1)/2;①

同理√[2(4b+1)]≤(2+4b+1)/2②

√[2(4c+1)]≤(2+4c+1)/2;③

√[2(4d+1)]≤(2+4d+1)/2.④

①+②+③+④得:

√{2(4a+1)]+√[2(4b+1)]+√[2(4c+1)]+√[2(4d+1)]≤[8+4(a+b+c+d)d+4]/2=8.

上式约去√2即得√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)+√(4d+1)≤4√2

第四题图太小，看不清

第五题：

若a=2b=-1/2c=-4d=0

满足ab+bc+cd+da=1

a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)+d^3/(a+b+c)<1/3

题设应为a,b,c,d>=0

由平均值不等式

a^3/(b+c+d)+[a(b+c+d)]/9>=2a^2/3

同理b^3/(a+c+d)+[b(a+c+d)]/9>=2b^2/3

c^3/(a+b+d)+[c(a+b+d)]/9>=2c^2/3

d^3/(a+b+c)+[d(a+b+c)]/9>=2d^2/3

a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)+d^3/(a+b+c)

>=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-[a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c)]/9

=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-[2+2(ac+bd)]/9

>=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-(2+a^2+b^2+c^2+d^2)/9

=(5/9)(a^2+b^2+c^2+d^2)-2/9

>=(5/9)(ab+bc+cd+da)-2/9

=1/3

取等号时a=b=c=d=1/2

第六题

证明:

依Cauchy不等式知,

∑[a/(1+b^2c)]≥(a+b+c+d)^2/(a+b+c+d+∑(ab^2c))]

∴只需证明:

ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b≤4.

事实上,

ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b

=(ab+cd)(ad+bc)

≤[(ab+bc+cd+da)/2]^2

=[(a+c)(b+d)/2]^2

≤1/4[(a+b+c+d)/2]^4

=4.

故原不等式成立.

第七题：没条件？