初中数学中定理有哪些有逆定理

初中定理及逆定理与证明水银521

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）

PE⊥OA，PF⊥OB

点P在OC上

∴PE＝PF（角平分线性质定理）

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵PE⊥OA，PF⊥OB

PE＝PF

∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

（1）∵AB＝AC，BD＝DC

∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（3）∵AB＝AC，AD⊥BC

∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB＝AC＝BC

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°）

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B＝∠C

∴AB＝AC（等角对等边）

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C

∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）

∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C＝90°，∠B＝30°

∴BC＝AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）

点P为MN上任一点

∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵PA＝PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2＋b2＝c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n－2）·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD（平行四边形的对角相等）

∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）

AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A＝∠C，∠B＝∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD＝BC，AB＝CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是平行四边形

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC＝BD（矩形的对角线相等）

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO＝OC

∴BO＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C＝90°

∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC＝BD

∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB＝BC＝CD＝AD

∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A＝∠B，∠C＝∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF＝AB（三角形中位线定理）

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF＝(AB＋CD)（梯形中位线定理）

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc

2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例）

推论平行与三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

（垂径定理）

推论1

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径

（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

（2）弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC＝BC，OC过圆心

（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA（切线性质定理）

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点P

∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P

∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB（切割线定理）

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）

【实数的分类】

【自然数】表示物体个数的1、2、3、4···等都称为自然数

【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。

【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。零的相反数是零。

【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

从数轴上看一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。零没有倒数。

【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。

【方根】如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数叫做a的n次方根。

【开方】求一数的方根的运算叫做开方。

【算术根】正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，零的算术根是零，负数没有算术根。

【代数式】用有限次运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结所得的式子，叫做代数式。

【代数式的值】用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做当这个字母取这个数值时的代数式的值。

【代数式的分类】

【有理式】只含有加、减、乘、除和乘方运算的代数式叫有理式

【无理式】根号下含有字母的代数式叫做无理式

【整式】没有除法运算或者虽有除法运算而除式中不含字母的有理式叫整式

【分式】除式中含字母的有理式叫分式

有理数的运算律】

【等式的性质】

【乘法公式】

【因式分解】

【方程】方程含有未知数的等式叫做方程。

方程的解在未知数允许值范围内，能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程在指定范围内求出方程所有解，或者确定方程无解的过程，叫做解方程。

【一元一次方程】一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程

【一元二次方程】

直线

（不定义）直线向两方无限延伸，它无端点。

射线

在直线上某一点旁的部分。射线只有一个端点。

线段

直线上两点间的部分。它有两个端点。

垂线

如果两条直线相交成直角，那么称这两条直线互相垂直。其中一条叫另一条的垂线，它们的交点叫垂足。

斜线

如果两条直线不相交成直角时，其中一条直线叫另一条直线的斜线。

点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线距离。

线段的垂直平分线

定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

平行线

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理及推论

经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。

平行于同一条直线的两条直线平行。

角的定义

有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角

角的分类

周角：3600平角：1800直角：900锐角：00<a<900钝角：900<a<1800

三角形的分类

按角分

锐角三角形钝角三角形，直角三角形

按边分

等腰三角形等边三角形，不等边三角形

三角形的角平分线

三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

三角形的中线

连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。

三角形的高

三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

三角形的中位线

连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

全等三角形

定义

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

性质

全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。

判定

任意三角形

直角三角形

（1）两边及夹角对应相等。记为SAS（1）一边一锐角对应相等

（2）两角和一边对应相等。记为ASAA或AAS（2）两直角边对应相等。

（3）三边对应相等。记为SSS（3)斜边、直角边对应相等（HL）

三角形的四心

名称

定义性质

内心

三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）（1）内心到三角形三边的距离相等。

2008-12-223:45回复

水银521

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5楼

（2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。

外心

三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（即外接圆的圆心）（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。

（2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。

（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。

重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。（1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。

（2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。

垂心

三角形三条高的交点，叫做三角形的垂心。三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。

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双曲线

定义：平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两定点间的距离叫做焦距。

标准方程

图象

焦点

F1（-c,0）F2（c,0）

F1（0,-c）F2（0,-c）

焦距

几何性质

范围

对称性坐标轴是椭圆的对称由，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

顶点

渐近线

离心率

定义：平面内与一个定点F和一条定直线L距离相等的的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。