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初中数学奥赛题

发表时间：2024-07-09 18:16:40 来源：网友投稿

由题意得:(a+b)/ab=1/4,(a+c)/ac=1/5,(b+c)/bc=1/6.

即:1/b+1/a=1/4,1/c+1/a=1/5,1/c+1/b=1/6

解得:a=120/17,b=120/13,c=120/7

则:17a+13b-7c=120

设BD分别交AG和AF于P和Q，BE分别交AG和AF于P和Q

如图△ABC被分为9个部分，设△ABD里的三个部分的面积从左到右分别为a、b、c，△BDE里的三个部分的面积从左到右分别为d、e、f，△BCE里的三个部分的面积从左到右分别为g、h、i，阴影部分的面积就是h。

显然有

a+b+c=1/3

d+e+f=1/3

g+h+i=1/3

a+d+g=1/3

b+e+h=1/3

c+f+i=1/3

AG交△BCD于A、M、G，由梅涅劳斯定理，

BM/MD*DA/AC*CG/GB=1

BM/MD*1/3*2/1=1

BM/MD=3/2

a/(b+c)=BM/MD=3/2

又a+b+c=1/3，所以b+c=1/3-a

所以a/(1/3-a)=3/2

a=1/5,

AF交△BCD于A、N、F，由梅涅劳斯定理，

BN/ND*DA/AC*CF/FB=1

BN/ND*1/3*1/2=1

BN/ND=6

(a+b)/c=6

(1/3-c)/c=6

c=1/21

所以

b=1/3-a-c=1/3-1/5-1/21=3/35

AG交△BCE于A、P、G，由梅涅劳斯定理，

BP/PE*EA/AC*CG/GB=1

BP/PE*2/3*2/1=1

BP/PE=3/4

(a+d)/(b+c+e+f)=3/4

(a+d)/(1/3-a+1/3-d)=3/4

a+d=2/7

d=2/7-1/5=3/35

AF交△BCE于A、Q、F，由梅涅劳斯定理，

BQ/QE*EA/AC*CF/FB=1

BQ/QE*2/3*1/2=1

BQ/QE=3

(a+b+d+e)/(c+f)=3

(1/3-c+1/3-f)/(c+f)=3

c+f=1/6

f=1/6-1/21=5/42

所以

e=1/3-d-f=1/3-3/35-5/42=9/70

所以

阴影部分的面积h

=1/3-b-e

=1/3-3/35-9/70

=5/42

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