小学奥数求解
发表时间：2024-07-10 00:49:52
来源：网友投稿
设BC=a,CA=b,CE=BG=BF=c,
易知2S△ABC=ab=24(30+c),①
由勾股定理a^2+b^2=(30+c)^2,②
由梅涅劳斯定理，AE/EC*CF/FB*BG/GA=1,即(b-c)(a+c)=30c.，
ab-c(a-b)-c^2=30c,③
把①代入③，得720+24c-c(a-b)-c^2=30c,
a-b=(720-6c-c^2)/c.④
a^2+b^2-(a-b)^2=2ab,
所以(30+c)^2-(720-6c-c^2)^2/c^2=1440+48c,
C^2(900+60c+c^2)-(518400—8640c-1404c^2+12c^3+c^4)=1440c^2+48c^3,
整理得864c^2+8640c-518400=0,
C^2+10c-600=0,c>0,
解得c=20.
代入④，a-b=10,
代入①②，得ab=1200,
a^2+b^2=2500,
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4900,a+b=70
解得a=40,b=30.
由射影定理AC^2=AD*AB,AB=30+C=50,
AD=18,DG=12,
在△BCD中，由梅涅劳斯定理，DH/HC*CF/FB*BG/GD=1,
即DH/(24-DH)*60/20*20/12=1,
5DH=24-DH,6DH=24,DH=4,
所以△DHG的面积=(1/2)DG*DH=24.
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