高中数学必修一到五所有公式和定理把必修几的都分类。

对数的性质及推导

用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数

*表示乘号,/表示除号

定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2.MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]

=

a^[log(a)(M)]

*

a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]

=

a^{[log(a)(M)]

+

[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(MN)

=

log(a)(M)

+

log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=M/N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M/N)]

=

a^[log(a)(M)]

/

a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M/N)]

=

a^{[log(a)(M)]

-

[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M/N)

=

log(a)(M)

-

log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]

=

{a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]

=

a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数,所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质：性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)

/

log(b)(a)

推导如下

N

=

a^[log(a)(N)]

a

=

b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N

=

{b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]

=

b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]

=

b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)

=

[log(a)(N)]*[log(b)(a)]

{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N)

/

log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)

/

ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)

=

[n*ln(a)]

/

[m*ln(b)]

=

(m/n)*{[ln(a)]

/

[ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

--------------------------------------------（性质及推导

完

）

公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下:由换底公式

log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)

----取以b为底的对数,log(b)(b)=1

=1/log(b)(a)

还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1

三角函数的和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

三角函数的积化和差公式

sinα

·cosβ＝1/2

[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα

·sinβ＝1/2

[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα

·cosβ＝1/2

[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα

·sinβ＝-1/2

[cos（α＋β）－cos（α－β）]