高中数学生物奥赛题，对了我加200分

解：

先画出家族谱系图（括号内的字母表示性别，m表示male，f表示female，没有严格按照男左女右的顺序）。（不妨设A男B女，如果情况相反，结果不变）

这里做出以下假定：A与B没有任何血缘关系，C与c，D与d，F与G亦然，c、d、G之间也没有任何血缘关系。这样如果E与H有相同的染色体，必定来自于A或B，而且，每一对染色体至多有一条相同。如不这样假定，情况太复杂，无法计算。

先考虑E和H第一对染色体的情况。

用A1a表示A的第一对染色体的第一条，A2b表示A的第一对染色体的第二条，B1a、B1b意义类似。

E的第一对染色体有四种情况：{A1a,*}、{A1b,*}、{B1a,*}、{B1b,*}，其中*来自c（这里的*有两种情况，无需进一步讨论），可能性都是1/4。

F的第一对染色体也有四种情况：{A1a,*}、{A1b,*}、{B1a,*}、{B1b,*}，其中*来自d，可能性都是1/4。根据假定在与E的第一对染色体比较时，凡是出现*的地方都认为不同（按照假定，c、d没有血缘关系，其染色体认为不同）。

H的第一对染色体有八种情况，与问题相关的有四种情况：{A1a,*}、{A1b,*}、{B1a,*}、{B1b,*}，其中*来自G，可能性都是1/8。（如果不容易理解，可以把F的染色体的8种情况都列出，再列出H的染色体的16种情况，其中含A1a的有2种情况，可能性为1/16=1/8，含A1b、B1a、B1b的情况亦然）（也可以这样认为，A1a有1/2的可能性遗传给D，有1/4的可能性遗传给F，有1/8的可能性遗传给H，A1b、B1a、B1b也是如此）

用随机变量X表示E的第一对染色体，则X有四种可能取值，{A1a,*}、{A1b,*}、{B1a,*}、{B1b,*}，每种可能性为1/4；用随机变量Y表示H的第一对染色体，则Y有多种可能取值，取{A1a,*}、{A1b,*}、{B1a,*}、{B1b,*}的可能性都为1/8，Y取其它值的可能性为1/2。

用Hi表示E、H的第i对染色体中相同的染色体的数目，根据假定，Hi取0、1之外的值的可能性为0。

事件H_1=1的概率为：P(H_1=1)=4*1/4*1/8=1/8。P(H_1=0)=1-P(H_1=1)=7/8，

前22对染色体情况类似，所以P(H_k=1)=1/8，P(H_k=0)=7/8，H_k的期望E(H_k)=1/8，k=1、2、3、……、22。

现在考虑E、H第23对染色体的情况。

用S表示事件E男H女，则P(S)=1/4，

P(H_23=1,S)=0，所以P(H_23=1|S)=0，故E(H_23|S)=0。

（可以这样理解：E、H的相同染色体来自于A、B，第23对染色体，E含有Y，来自A，另一条X来自c；H的第23对染色体，一条为X，来自A或B，不可能与E的Y相同，另外一条来自G，也不可能与E相同，故第23对染色体两人不可能有相同）

这样相同染色体数目的期望为E(∑H_k|S)+E(H_23|S)=∑E(H_k)+0=1/8*22+0=2.75。

如果考虑C、D染色体相同的数目，

第一对

C：{A1a,B1a}、{A1a,B1b}、{A1b,B1a}、{A1b,B1b}，概率各位1/4；

D：{A1a,B1a}、{A1a,B1b}、{A1b,B1a}、{A1b,B1b}，概率各位1/4；

P(H_1=2)=1/4*1/4*4=1/4，

P(H_1=1)=1/4*1/2*4=1/2，

P(H_1=0)=1/4*1/4*4=1/4，

E(H_1)=2*1/4+1*1/2+0*1/4=1，

E(H_k)=E(H_1)=1，k=1、2、3、……、22。

第23对，

C：{A23aX,B23aX}、{A23aX,B23bX}、{A23Y,B23aX}、{A23Y,B23bX}，概率各位1/4；

D：{A23aX,B23aX}、{A23aX,B23bX}、{A23Y,B23aX}、{A23Y,B23bX}，概率各位1/4；

P(C男D女)=1/4，

P(H_23=1,C男D女)=1/4*1/4*2=1/8，

P(H_23=0,C男D女)=1/4*1/4*2=1/8，

P(H_23=1|C男D女)=P(H_1=1,C男D女)/P(C男D女)=1/2，

P(H_23=0|C男D女)=P(H_1=0,C男D女)/P(C男D女)=1/2，

E(H_23|C男D女)=1*1/2+0*1/2=1/2，

故相同染色体数目的期望值为

E(∑H_k)+E(H_23|C男D女)=1*22+1/2=22.5。

其实原来的问题还不是太复杂，我记得一本遗传学教科书上出现的题目是：

……F与C男生下H女，问E与H的染色体相同条数的数学期望？

这样就比较难了，那才要用到不少条件概率的知识。（C为F的舅舅，属近亲结婚，根据结果再说明如果家族有隐性遗传疾病的话，H发病的可能性）