关于高中椭圆的切线问题
让我来试一下吧……
首先设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo①
把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：
X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：
b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：
(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切，所以上式方程有且只有一个实数解。
则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0
则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)
把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo)，得：
(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2②
又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1，得：
Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1即b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2③
把③式代入②式，得：
a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2
等式两边同时除以a^2·b^2，得：
Xo·X/a^2+Yo·Y/b^2=1
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