高中数学数列问题

这是一道难题。

解：

由题意k=3或4时，对任意n>k，都有：

S(n+k)+S(n-k)=2Sn+2Sk

即有：

1）当n≥5时，以下两式恒成立：

S(n+3)+S(n-3)=2Sn+2S3

S(n-1+3)+S(n-1-3)=2S(n-1)+2S3

两式相减有：

a(n+3)+a(n-3)=2an

也就是说对于任意k≥2，

ak，a(k+3)，a(k+6)，....，都成等差数列。

2）同理，当n≥6时，有：

S(n+4)+S(n-4)=2Sn+2S4

S(n-1+4)+S(n-1-4)=2S(n-1)+2S4

两式相减有：

a(n+4)+a(n-4)=2an

也就是说对于任意k≥2，

ak，a(k+4)，a(k+8)，....，也都成等差数列。

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有了以上两个结论，我们来看：

对于任意k≥8，

a(k-6)，a(k-3)，ak，a(k+3)，a(k+6)，5项构成等差数列，同时

a(k-6)，a(k-2)，a(k+2)，a(k+6)，4项也构成等差数列。

所以2ak=a(k-6)+a(k+6)=a(k-2)+a(k+2)

这说明对于任意k≥6，

ak，a(k+2)，a(k+4)，a(k+6)，...都成等差数列。

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这个结论又可以变形：

对于任意的k≥9，

a(k-3)，a(k-1)，a(k+1)，a(k+3)，4项构成等差数列，所以：

a(k-3)+a(k+3)=a(k-1)+a(k+1)

刚才我们已经知道，a(k-3)+a(k+3)=2ak

也就是：

2ak=a(k-1)+a(k+1)，对于所有的n≥9成立。

也就是说从a8开始，数列{an}是等差数列。我们假设这个公差是d。

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再来看2≤k≤8时，是不是等差数列。

这时由于：

ak，a(k+6)，a(k+12)等差，

a(k+1)，a(k+7)，a(k+13)也等差，

所以：

2a(k+6)=ak+a(k+12)

2a(k+7)=a(k+1)+a(k+13)

相减注意到a(k+7)-a(k+6)=d=a(k+13)-a(k+12)

得到：a(k+1)-ak=d

也就是说a2到a8也是公差为d的等差数列。

所以数列{an}从第二项起，已被证明是公差d的等差数列。

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（呼~~~~~真累~~~目前还没有证明a1也是等差数列中的一项。）

再来：

由于S(n+3)+S(n-3)=2Sn+2S3

2S3=S(n+3)+S(n-3)-2Sn=【S(n+3)-Sn】-【Sn-S(n-3)】

=【a(n+3)+a(n+2)+a(n+1)】-【an+a(n-1)+a(n-2)】

=【a(n+3)-an】+【a(n+2)-a(n-1)】+【a(n+1)-a(n-2)】

=3d+3d+3d=9d

即：2S3=9d

同理由于S(n+4)+S(n-4)=2Sn+2S4，有：

2S4=16d

两式相减

2S4-2S3=16d-9d

2a4=7d

a4=7d/2

a2=a4-2d=3d/2

得到对于n≥2，有an=nd-d/2

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再来看a1。

由S7+S1=2S4+2S3，以及a1=1，an=nd-d/2（n≥2），

用求和公式易知，d=2

所以对于n≥2，有an=nd-d/2=2n-1

这个公式对于n=1，a1=1同样正确，所以

{an}为等差数列，通项公式为

an=2n-1