初中数学计算

用列项做

原式=（2分之一减4分之一加4分之一减6分之一加……加198分之一减200分之一）x二分之一

=（2分之一减200分之一）x二分之一

=200分之99x二分之一

=400分之99

裂项法

裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n•n!=(n+1)!-n!

[例]求数列an=1/n(n+1)的前n项和.

解：设an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝1-1/(n+1)

＝n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

一、基本概念

1、数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列

2、数列的项an与项数n

3、按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列

4、按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列

5、数列的通项公式an

6、数列的前n项和公式Sn

7、等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d

8、等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1•q^(n-1)

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)

当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1•n+1/2•n•(n+1)•d

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式：an=a1•q^(n-1)an=ak•q^(n-k)

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=a1•(q^n-1)/(q-1)

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

16、等比数列中，若m+n=p+q，则am•an=ap•aq

17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列

{an•bn}、{an/bn}、{1/(an•bn)}仍为等比数列。

20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；

四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

四、数列求和的常用方法：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)

24、分组法求数列的和：如an=2n+3n

25、错位相减法求和：如an=n•2^n

26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

27、倒序相加法求和：如an=n

28、求数列的最大、最小项的方法：

①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3

②(an>0)如an=

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)

29、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.

(2)当a10时，满足的项数m使得Sm取最小值.

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。