高中数学竞赛不等式高手进
发表时间：2024-07-11 11:38:17
来源：网友投稿
先证明对x,y>0，有1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
证：上式等价于(1+xy)(1+y)^2+(1+xy)(1+x)^2>=(1+x)^2(1+y)^2
1+xy^3+x^3y>=2xy+x^2y^2
1+xy(x^2+y^2)>=xy(2+xy)
1+xy(x^2+y^2-2-xy)>=0
1+xy[(x-y)^2-2+xy]>=0
xy(x-y)^2+(1-xy)^2>=0
显然成立。
于是我们证明了1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
对于原不等式用上述不等式有：
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1/(1+ab)+1/(1+cd)
利用abcd=1，有1/(1+ab)=cd/(1+cd)
所以1/(1+ab)+1/(1+cd)=cd/(1+cd)+1/(1+cd)=1
也即1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1
得证。。
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