高中数学：能否不用数学归纳法证明这道题
发表时间：2024-07-11 13:59:07
来源：网友投稿
令g(x)=lnx-(1-1/x),x>1
g'(x)=1/x-1/x²=1/x(1-1/x)>0
g(x)是增函数
∴g(x)>g(1)=0
即lnx>1-1/x
分别令x=2,3/2,4/3,……,n/(n-1)
ln2>1/2
ln(3/2)>1/3
ln(4/3)>1/4
……
ln[n/(n-1)]>1/n
各式相加得lnn>1/2+1/3+.+1/n
即1+1/2+1/3+.+1/n<1+lnn
而Sn趋近1，但肯定<1
所以得证结果（1+1/2+1/3+.+1/n）Sn<1+lnn。
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