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高中数学立体几何问题

发表时间：2024-07-11 15:53:54 来源：网友投稿

设棱长为6a，高为h

由图知:CO=R=1

又∵CO2=2√3a

∴(OO2)²=(CO)²－(CO2)²=1－12a²

∴h=2×OO2=2√(1－12a²)

∴V=S∆ABC×h

=9√3a²×2√(1－12a²)

且1－12a²>0，即：0<a<√3/6

令√(1－12a²)=t，即：a²=(1－t²)/12，0<t<1

∴V=(3√3/2)×t×(1－t²)0<t<1

法1：导数法

V＇=(3√3/2)×(1－3t²)0<t<1

∴V在t∈(0,√3/3)单增；在t∈(√3/3,1)单减

∴V在t=√3/3时取得最大，

此时h=2√(1－12a²)=2t=2√3/3

法2：均值不等式：

V=(3√3/2)×t×(1－t²)

∴V²=27/4×t²×(1－t²)²

=27/8×2t²×(1－t²)×(1－t²)

≤27/8×（3)√[2t²+(1－t²)+(1－t²)]【（3)√m表示m开3次方】

=27/8×（3)√4

当且仅当2t²=1－t²，即t=√3/3时取得最大，

此时h=2√(1－12a²)=2t=2√3/3

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