高中奥数题,有点难度

发表时间：2024-07-12 02:06:02 来源：网友投稿

我的方法有些麻烦，应该还有更好的方法，暂且为lz写上

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设这9个数为a1,a2,...,a9。现在反设这9个数中任何5个之和都不是5的倍数

那么他们被5除的余数不可能遍历0,1,2,3,4(否则加起来就能被5整除了)。换句话说这9个数被5除的余数最多只能有4种取值。根据抽屉原理，9个数中必然存在三个数被5除余数相同。不妨设是a7,a8,a9。他们被5除余r

现考察新数组bi=ai-r(i=1,2,...,9)

则显然b7,b8,b9都被5整除，且对b1,b2,...,b9这9个数而言，仍满足：任何5个之和都不是5的倍数。(否则对应的ai之和就是5的倍数了)

现在b1,b2,...,b6中最多只有1个5的倍数，所以不妨设b1,b2,...,b5都不被5整除。根据抽屉原理，其中必有2个数被5除余数相同。不妨设是b1,b2。被5除余数为k

若k=1,则b3,b4,b5被5除都不能余3也不能余4，所以只能余1或2了。易见全1，1个12个2，2个11个2，全2这4种情况中的任何一种的都导致矛盾！

同理可证若k=2,3,4，也将导致矛盾！

所以反设不成立，命题得证

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to随云公子：我不生气，但是觉得可笑，你连我的证明方法都没看明白就妄加品论。我把这9个数每个数都减去了r，又不只是那3个数减去r。所以a1+a2+a3+a4+a5被5整除与否与b1+b2+b3+b4+b5被5整除与否是等价的。懂么？

lz说得没错，要证明1000的情况就只要证明2,5的情况就行了。推广到任意n也是没问题的，单樽在他1983年的一篇论文《初等数论中的一个猜测》中已经证明了这件事情，lz可以去搜搜这篇论文来看。

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