求高中数学基础练习题。比较有用的。

直线与平面(一)�6�1练习题

一、选择题

(1)空间三条直线，两两相交，则由它们可确定平面的个数为

[]

A．1B．3

C．1或3D．1或4

(2)异面直线a，b分别在两个平面α，β内，若α∩β=直线c，则c[]

A．与a，b均相交

B．至多与a，b之一相交

C．至少与a，b之一相交

D．与a，b均不相交

(3)给出下列四个命题

③若a‖b，a‖α，则b‖α

④若a‖α，b‖α，则a‖b

(a，b，l为直线，α为平面)

其中错误命题的个数为[]

A．1B．2

C．3D．4

(4)给出下面三个命题

甲：相交两直线l，m都在α内，且都不在β内

乙：l，m中至少有一条与β相交

丙：α与β相交

当甲成立时[]

A．乙是丙的充分而不必要条件

B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充要条件

D．乙是丙的非充分也非必要条件

(5)已知直线a，b，c和平面α，β，若a⊥α则[]

(6)两条异面直线在一个平面内的射影一定是[]

A．两条相交直线

B．两条平行直线

C．一条直线和直线外一点

D．上述三种可能均有

(7)在一个锐角二面角的一个面内有一条直线a，则在另一个面内与a垂直的直线[]

A．只有一条B．有无穷多条

C．有一条或无穷多条D．无法肯定

(8)在空间，下列命题成立的是[]

A．过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直

B．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α

C．互相平行的两条直线在一个平面内的射影必为互相平行的两条直线

D．若点P到三角形的三边的距离相等，且P在该三角形所在平面内的射影O在三角形内，则O为三角形的内心

二、填空题

(9)线段AB=5cm，A，B到平面α的距离分别为1cm和1.5cm，则直线AB与平面α所成的角的大小是______．

(10)已知平面α‖平面β，若夹在α，β间的一条垂线段AB=4，一条斜线段CD=6，若AC=BD=3，AB，CD的中点分别为M，N，则MN=______．(其中A，C∈α；B，D∈β)

(11)正方体ABCD—A1B1C1D1中，若M，N分别为A1A和B1B的中点，设异面直线CM和D1N所成的角为θ，则cosθ的值为______．

(12)过空间一点P的三条射线PA，PB，PC两两的夹角都是60°，则射线PC与平面APB所成角的正切函数值为______．

三、解答题

(13)求证：空间两两相交且不共点的四条直线必共面．

(14)如图21—1所示，E，F，G，H，M，N分别为空间四边形的边AB，BC，CD，DA及对角线AC和BD的中点，若AB=BC=CD=AD，求证：

(Ⅰ)AC⊥BD；

(Ⅱ)面BMN⊥面EFGH．

(15)如图21—2所示，ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PD⊥面ABCD，且PD=a，E为PB的中点．

(Ⅰ)求证面AEC⊥面ABCD；

(Ⅱ)求E到面PAD的距离；

(Ⅲ)求二面角B—AE—C的正切函数值．

答案与提示

一、

(1)C(2)C(3)D(4)C(5)C(6)D(7)B(8)D

提示

(3)四个命题均不正确．

①l可能与α相交；②l可能与α相交，但其交点不在a，b上；③b可能在α内；④a，b可能相交或异面．

(4)当乙成立时，α必与β相交；反之当丙成立时，l，m至少有一条与β相交，否则l//m与甲矛盾．

(7)在另一平面内与a在其内的射影垂直的直线也必与a垂直，故有无穷多条．

(8)(A)当过两点的直线⊥α时，则过该直线的所有平面都⊥α；

(B)当l为α的斜线时，在α内与l的射影垂直的直线也必垂直于l；

(C)可能为一条直线，两相交直线，两平行线或一直线及线外一点；

(D)正确．

三、(13)如图答21-1，已知a，b，c，d四直线两两相交，但不共点．设a∩b=A，则过a，b可确定平面α，不妨设c∩a=C，c∩

c，d两两相交而不共点，并不排斥a，b，c共点而与d不共点．但c，d中总有一条与a，b不共点)

(14)(Ⅰ)∵AB=AD，BN=ND，∴AN⊥BD

(Ⅱ)由(Ⅰ)BD⊥MN．又EH//BD，∴BD⊥EH

同理MN⊥EF

∴MN⊥面EFGH

(15)(Ⅰ)如图答21-2，连AC，BD交于0，∵E为PA中点，O为AC中点，

∴EO//PC，又∵PC⊥面ABCD

∴面BED⊥面ABCD

(Ⅱ)∵EO//PC，∴EO//面PBC

∴E到面PBC的距离就是O到面PBC的距离．

又∵PC⊥面ABCD，∴面PBC⊥面ABCD

过O作OH⊥BC于H，则OH⊥面PBC

(Ⅲ)∵面BDE⊥面ABCD，AO⊥BD，∴AO⊥面BDE

过A作AF⊥BE于F，则OF⊥BE

则∠AFO为二面角A-BE-D的平面角