高中数学的竞赛题。。。求正解。。
发表时间：2024-07-12 06:30:32
来源：网友投稿
为了书写方便，我们可以把a-1,b-1看成一个整体，记为m=a-1,n=b-1
也就是m，n都是大于0的数，需证明(m+1)^2/n+(n+1)^2/m>=8
这下看起来不就简单了其中^表示次方数,^2表示2次方也叫平方
(m+1)^2=(m-1)^2+4*m>=4m当m=1取等号
(n+1)^2=(n-1)^2+4*n>=4n
那么(m+1)^2/n+(n+1)^2/m>=4m/n+4n/m
这下看起来就不费劲了吧
m/n+n/m>=2*(m/n*n/m)^0.5=2^0.5是0.5次方也叫开方
当m=n时取等号
综上所述
已经得证了其中当m=n=1时取等号，也就是a=b=2时取等号
当然如果觉得这么写还是有点突兀，那么我们就慢慢书写也是一样，虽然可能看着费劲，不过不用绕弯弯：
a^2=(a-1+1)^2=(a-1-1)^2+4*(a-1)>=4*(a-1)当a-1=1,a=2时取等号
同理b^2>=4*(b-1)
那么
a^2/(b-1)+b^2/(a-1)>=4*(a-1)/(b-1)+4*(b-1)/(a-1)>=8当a-1=b-1=1,a=b=2时取等号
证明很简单关键在与你已经知道这个是证明题了，那么这个结论就必然是正确的，可以由此反向推理，尽量往结论上靠就可以了
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