初中几何数学题
发表时间：2024-07-12 09:02:41
来源：网友投稿
作射线AE.
因为AB=AC,E是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为∠DBC+∠ACD=180°，
所以∠ACD=∠BCD+∠BDC,
所以∠ACB=∠BDC.
作CO⊥AC交AE于O,则
∠EOC=∠ACB=∠BDC,
则点O是△BCD的外心，
设△BCD的外接圆O交AE于G,由垂径定理，
弧BG=弧GC,
所以∠BDG=∠CDG,①
作DF⊥AE于F,设CE=1,AE=h,DF=x，EF=y,
在△ACO中由射影定理，OE=CE^2/AE=1/h,
OG=OC=√（OE*OA）=√(1+1/h^2),
EG=OG-OE=√(1+1/h^2)-1/h.
由OD=OC得x^2+(y-1/h)^2=1+1/h^2,
整理得x^2=1+2y/h-y^2,②
EG/AG=[√(1+1/h^2)-1/h]/[h+1/h-√(1+1/h^2)]
=[√(h^2+1)-1]/[h^2+1-√(h^2+1)](上式分子分母都乘以h)
=1/√(h^2+1),
下面用等价变换证明∠EDG=∠ADG,③
DE/DA=EG/AG,
DE^2/DA^2=EG^2/AG^2,
(x^2+y^2)/[x^2+(y+h)^2]=1/(h^2+1),
把③代入上式，并化简得(1+2y/h)/(1+2y/h+2hy+h^2)=1/(h^2+1),
上式显然成立，所以③成立。
①-③得∠BDE=∠ADC.
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