关于全国高中数学联赛的问题

高中数学联赛赛竞赛大纲

—试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

1.平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的筒单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法、向量方法*。平面凸集、凸包及应用。

2.代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代求n次迭代*，简单的函数方程*。n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。圆排列有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其质。

3.立体几何多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体欧拉定理。体积证法。截面会作截面、表面展开图。

4.平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。因的幂和根轴。

5.抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。注：全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克*拢，总的精神是比高中数学大纲的要求略有提高，在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的内容作为课外活动或奥校的讲授内容。

对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容，并根据学生的具体情况适当地讲授。

有*号的内容二试中暂不考，但在冬令营中可能考。