高中数学三角函数教案高一三角函数教案

三角函数知识梳理

§1.1任意角和弧度制

⎧正角：逆时针方向旋转

⎪

1..任意角⎨负角：顺时针防线旋转

⎪零角⎩

2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3..①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：β|β=k⨯360+α,k∈Z②终边在x轴上的角的集合：β|β=k⨯180,k∈Z③终边在y轴上的角的集合：β|β=k⨯180+90,k∈Z④终边在坐标轴上的角的集合：β|β=k⨯90,k∈Z⑤终边在y=x轴上的角的集合：

{}

{}

{}

{}

{β|β=k⨯180+45,k∈Z}

⑥终边在y=-x轴上的角的集合：β|β=k⨯180-45,k∈Z

⑦若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：α=360k-β，k∈Z⑧若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与角β的关系：α=360k+180-β，k∈Z⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：α=180k+β，k∈Z⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：α=180k+β+90，k∈Z4.弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对

的弧长为l，则其弧度数的绝对值|=

{}

l

,其中r是圆的半径。r

180

5.弧度与角度互换公式：1rad＝（180）°≈57.30°1°＝π

π

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.6..第一象限的角：⎨α|2kπ

⎧⎩

π

⎫

+2kπ,k∈Z⎬2⎭

o

锐角：⎨α|0

⎧

⎩

π⎫

2⎭

⎬；小于90的角：⎨α|α

⎧⎩

π⎫

⎬（包括负角和零角）2⎭

2

7.弧长公式：l=|α|R扇形面积公式：S=lR=|α|R

§1.2任意角的三角函数

1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x,y)是α的终边上

的任意一点（异于原点）

，它与原点的距离是r=

>0，那么

yxsinα=,cosα=

rr

2..三角函数线

y

tanα=,(x≠0)，

x

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P

正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：3.三角函数在各象限的符号：

＋＋－＋－－－＋αcosαtanα

4.同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sinα+cosα=1,1+tanα=（2）商数关系：tanα=

2

2

2

1

cos2α

sinα

（用于切化弦）cosα

※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

§1.3三角函数的诱导公式

kπ

±α形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）1.诱导公式（把角写成2

⎧sin(-x)=-sinx⎧sin(2kπ+x)=sinx⎧sin(π+x)=-sinx⎪⎪⎪Ⅰ）⎨cos(2kπ+x)=cosxⅡ）⎨cos(-x)=cosxⅢ）⎨cos(π+x)=-cosx⎪tan(-x)=-tanx⎪tan(2kπ+x)=tanx⎪tan(π+x)=tanx⎩⎩⎩

π⎧π⎧⎧sin(π-x)=sinxsin(-α)=cosα+α)=cosα⎪⎪⎪⎪2⎪2Ⅳ）⎨cos(π-x)=-cosxⅤ）⎨Ⅵ）⎨

⎪tan(⎪cos(π-α)=sinα⎪π+α)=-sinαπ-x)=-tanx⎩⎪⎪2⎩2⎩

§1.4三角函数的图像与性质

1.周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期）①

y=sinx与y=cosx的周期是π.

②

y=sin(ωx+ϕ)或y=cos(ωx+ϕ)（ω≠0）的周期T

π

ω

=

2π

.

③y=Atan(ωx+ϕ)的周期为T=

y=tan

xπ

的周期为2π（T=⇒T=2π，如图）

2（1）几个物理量：A―振幅；f=

1

―频率（周期的倒数）；ωx+ϕ—相位；ϕ―初相；

T

（2）函数y=Asin(ωx+ϕ)表达式的确定：A期确定；ϕ由图象上的特殊点

确f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0，|ϕ|

π

2

)15π

f(x)＝_____（答：f(x)=2sin(x+)）；

23

（3）函数y=Asin(ωx+ϕ)图象的画法：

①“五点法”――设X=ωx+ϕ，令X＝0，

π

2

,π,

3π

,2π求出相应的x值，计算得出五2

点的坐标描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数y=Asin(ωx+ϕ)+k的图象与y=sinx图象间的关系：①函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ

1

ω

，得到函数

y=sin(ωx+ϕ)的图象；

③函数y=sin(ωx+ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

y=Asin(ωx+ϕ)的图象；

④函数y=Asin(ωx+ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k

要特别注意若由y=sin(ωx)得到y=sin(ωx+ϕ)的图象，则向左或向右平移应平移

|

ϕ

|个单位ω

例：以y=sinx变换到y=4sin(3x+π)为例

3

y=sinx向左平移

π

个单位（左加右减）

π⎫⎛

y=sinx+⎪

3⎝⎭

横坐标变为原来的

1π⎫⎛

倍（纵坐标不变）y=sin3x+⎪33⎭⎝

π⎫

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y=4sin⎛3x+⎪

3⎭⎝

1

y=sinx横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y=sin(3x)

向左平移

ππ⎫π⎫⎛⎛

个单位（左加右减）y=sin3x+⎪=sin3x+⎪9⎭3⎭⎝⎝

π⎫

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y=4sin⎛3x+⎪

3⎭⎝

注意：在变换中改变的始终是x。

（5）函数性质（潜在换元思想）：求对称中心、对称轴、单调区间的方法（特别注意先ω>0）

sinxcosx”的内存联系――“知一求二”9.正余弦“三兄妹—sinx±cosx、

三角函数测试卷一

一、选择题：

1．若-

π

B．第二象限

C．第三象限

（）

D．第四象限

A．第一象限

2．“sinA=

1

2

”“A=30º”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知∆ABC中，三内角A．B．C成等差数列，则sinB=

（A．

12

B

C

D

4．设角α的终边经过点P（3x，-4x）（x＜0），则sinα-cosα

的

A．

71

15

B．

1C．7或-75

5

5

D．5或-

5

5．sin15

sin30

sin75

的值是（）、A

B

11C．8D．4

6．已知sinxtanx

0）

A．2cosx

BxC．2sinxD．-2sinx7．在ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则该ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形

D.等腰或直角三角形

8．下列函数中，以π为周期的偶函数是

（）

A．y=sinx

B．y=sinx

C．y=sin(2x+

π

3

)D．y=sin(x+

π

2

)9

．函数y=x2+cosx

2

的最小值和最小正周期是（）A．2，2πB．－2，2πC．－2，πD．－2，4π10．已知cosα=

13，α是锐角，cos(α+β)=-1

7

，则cosβ=（）A

．

1B

．-1C

．

-1-1±212121D

．21

11．已知cosx+sinx=

1

5

，0

）

（

A．-

43或-34B．-34C．-4

433

D．-3或4

12．在∆ABC中，若a=4，

b=∠A=30,则∠B等于

（）

A.120

B.120或30C.60D.60或120

二、填空题

13．若sin(α+300

)=

3

5

，α∈(900,1800)，则sinα=14．已知圆锥高为4,底面半径为3,则它的侧面展开图的圆心角为15．已知sinα=

1παα

3，且0

2

=。16．已知sinα=2cosα，则sin2

α+2sinαcosα=________

17．已知在△ABC中，A=60°，

BCAB=5

2

，则sinC=18．sinα、cosα是方程4x2

+26x+m=0的两根,则m的值为三、解答题

19．（本题满分8分）已知函数f(x)=2cos2

x+2sin(π-x)sin(π

2

+x)

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若x∈R，求当函数f(x)取得最大值时自变量x的集合．

20．在⊿ABC中，BC=a,AC=b,a、b是方

程x2

-+2=0

的两个根2cos(A+B)=1，求(1)角C的度数(2)AB的长(3)⊿ABC的面积

且

21．已知ABC中,满足sinA:sinB:sinC=2:3:4.试判断ABC是什么形状?

22．已知α为锐角，且点(cosα,sinα)在曲线6x2+y2=5上。

（1）求cos2α的值

π

（2）求tan(2α-)的值

4

23．已知点A（3，0），B（0，3），C(cosα,sinα)

（1）若AC∙BC=-1，求sin2α的值；

(2)

若OA+OC=O是原点，且α∈(0,π)，求OB与OC的夹角。

24．（1）求函数y=sin(2x+θ)的周期；（2）若θ=（1）中的函数取得最大值、最小值？

π

⎡ππ⎤

，x在⎢-,⎥上取何值时，3⎣22⎦

⎛π⎫⎛π⎫

（3）求证：2sin+x⎪cos-x⎪cosθ+2cos2x-1sinθ=sin(2x+θ)。

⎝2⎭⎝2⎭

()