高中数列难题
解：
2a(n+1)-an=6×2^n
2a(n+1)=an+6×2^n
2a(n+1)-2×2^(n+2)=an-2^(n+1)
[a(n+1)-2^(n+2)]/[an-2^(n+1)]=1/2，为定值。
a1-2^2=9/2-4=1/2
数列{an-2^(n+1)}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an-2^(n+1)=1/2ⁿ
an=2^(n+1)+1/2ⁿ
n=1时，a1=2^2+1/2=9/2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(n+1)+1/2ⁿ。
bn=an-2^(n+1)=2^(n+1)+1/2ⁿ-2^(n+1)=1/2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=2^2+2^3+...+2^(n+1)+1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ
=4(2ⁿ-1)/(2-1)+(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=2^(n+2)-1/2ⁿ-3
Tn=b1+b2+...+bn=1/2+1/2^2+...+1/2ⁿ=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=1-1/2ⁿ
Sn/Tn≤m/bn
[2^(n+2)-1/2ⁿ-3]/(1-1/2ⁿ)≤m/(1/2ⁿ)
2^(n+2)-1/2ⁿ-3≤m(2ⁿ-1)
m≥[2^(n+2)-1/2ⁿ-3]/(2ⁿ-1)
m≥[2^(2n+2)-3×2ⁿ-1]/[2^(2n)-2ⁿ]
m≥[4×2^(2n)-4×2ⁿ+2ⁿ-1]/[2^(2n)-2ⁿ]
m≥4+(2ⁿ-1)/[2ⁿ(2ⁿ-1)]
m≥4+1/2ⁿ
随n增大，2ⁿ递增，1/2ⁿ递减，4+1/2ⁿ递减，因此当n=1时，4+1/2ⁿ有最大值4+1/2=9/2
要对任意正整数n，不等式恒成立，则m≥9/2
m的最小值为9/2。
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