高中数列难题。
发表时间:2024-07-12 16:10:36
来源:网友投稿
解:(1)在2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1中,
令n=1得:2S1=a2-2^2+1,
令n=2得:2S2=a3-2^3+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)由2Sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,
2S(n+1)=a(n+2)-2^(n+2)+1
得a(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1),
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+2^1,
所以a(n+1)=3an+2^n对n∈N*成立
∴a(n+1)+2^(n+1)=3(an+2^n),又a1=1,a1+2^1=3,
∴an+2^n=3^n,
∴an=3^n-2^n;
(3)
∵an=3^n-2^n=(3-2)(3^(n-1)+3^(n-2)×2+3(n-3)×2^2+…+2^(n-1))≥3^(n-1)
∴1/an≤1/3^(n-1)
∴1/a1+2/a2+3/a3+......1/an≤1+1/3+1/3^2+......+1/3^(n-1)=1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)<3/2
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