高中数学题解析几何
发表时间：2024-07-12 21:28:32
来源：网友投稿
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e=√3/3,以原点为圆心,椭圆短半
轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A、B分别是椭圆的两个顶点，P为椭圆C上的动点。
(1)求椭圆C的方程。
(2)若P与A,B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1*k2为定值。
(3)M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，若|OP|/|OM|=t,求点M的轨迹方程。
解:(1)椭圆短半轴b=原点到直线x-y+2=0的距离,故b=2/√2=√2.
a²-b²=(c/e)²-2=(3c/√3)²-2=3c²-2=c²,故2c²=2,c=1.a=c/e=√3,b=√(a²-c²)=√2
于是得椭圆C的方程为x²/3+y²/2=1.
(2)A(-√3,0),B(√3,0),P(x,y),其中x=(√3)cosθ,y=(√2)sinθ.(椭圆参数方程)
k₁=y/(x+√3);k₂=y/(x-√3),于是:
k₁k₂=[y/(x+√3)][y/(x-√3)]=y²/(x²-3)=2sin²θ/(3cos²θ-3)
=2(1-cos²θ)/[-3(1-cos²θ)=-2/3=定值.
(3)|OP|/|OM|=t,t是定值吗?点M在过P点且垂直于x轴的直线上有没有相对于该直线的
运动?这些问题不明确,轨迹无法求.
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