高中数学联赛试卷

发表时间：2024-07-13 03:01:36 来源：网友投稿

二〇〇五年高中数学联赛试卷

一、选择题

1.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是

a.b.c.d.

2.空间四点a、b、c、d，满足、、、，则的取值

a.只有一个b.有两个c.有四个d.有无穷多个

3.△abc内接于单位圆，三个内角a、b、c的平分线交此圆于a1、b1、c1三点，则的值是

a.2b.4c.6d.8

4.如图，abcd－a’b’c’d’为正方体，任作平面α与对角线ac’垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为s，周长为l，则

a.s是定值，l不是定值b.s不是定值，l是定值c.s、l均是定值d.s、l均不是定值

5.方程表示的曲线是

a.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在x轴上的双曲线

c.焦点在y轴上的椭圆d.焦点在y轴上的双曲线

6.记集合，，将m中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是

a.b.c.d.

二、填空题

7.将多项式表示为关于y的多项式，且，则=__________。

8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_____________。

9.设α、β、γ满足，若对任意，成立，则=_____。

10.如图，四面体dabc的体积为，∠acb=45°，，则cd=_________。

11.正方形abcd的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_____________。

12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。

三、解答题

13.数列{an}满足a0=1，，，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。

14.将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为s，求值s达到最小值的方法的

概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。

15.过抛物线y=x2一点a(1,1)作抛物线的切线交x轴于d，交y轴于b，c在抛物线上，e在线段ac上，，f在线段bc上，，且λ1+λ2=1，线段cd与ef交于p，当c在抛物线上移动时，求p的轨迹方程。

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