高中简单数学题，求解，有关导数的
发表时间：2024-07-13 05:44:40
来源：网友投稿
函数f(x)=(p/3)x³-x²+px-p，
导函数f′(x)=px²-2x+p.
(1)∵f(x)在（0，＋∞）内为单调函数，
∴f′(x)≥0在（0，＋∞）上恒成立，或f′(x)≤0在（0，＋∞）上恒成立.
当p=0时，显然不符合题意；
当p>0时，∵f′(x)的图象的对称轴1/p>0，
∴要使f′(x)≥0在（0，＋∞）上恒成立，
则4-4p²≤0，得p≤-1，或p≥1，
又p>0，
∴p≥1；
当p<0时，∵f′(x)的图象的对称轴1/p<0，f′(0)=p<0
∴f′(x)≤0在（0，＋∞）上恒成立，
∴p<0，
因此p的取值范围是（－∞，0）∪[1，＋∞）.
(2)设曲线y=f(x)的切线与曲线切于点(t，(p/3)t³-t²+pt-p)，(p≠0)，
则切线斜率为pt²-2t+p，
切线过点（1，0），斜率为[(p/3)t³-t²+pt-p-0]/(t-1)，
∴pt²-2t+p=[(p/3)t³-t²+pt-p]/(t-1)，
即2pt³-3(p+1)t²+6t=0.
由题意过点（1，0）可作曲线的三条切线，
∴方程2pt³-3(p+1)t²+6t=0有三个不等实根，
即方程2pt²-3(p+1)t+6=0有两个不等的非零实根，
∴2p≠0，且9(p+1)²-48p>0，
解得p3，且p≠0.
∴p的取值范围是p3，且p≠0.
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