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求一道高中数学压轴题

发表时间：2024-07-13 14:14:25 来源：网友投稿

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$的不定积分，即$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$。已知$F(x)$在区间$[a,b]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，且$m<M$。求证：存在$c,d\in[a,b]$，使得$f(c)=f(d)=\dfrac{M-m}{b-a}$。

证明：

首先由于$F(x)$在区间$[a,b]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，所以有$F(x)-m\leM-m$，即$F(x)-m\le\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$。

令$g(x)=F(x)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$，则有$g(x)\le0$。

由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以$F(x)$在区间$[a,b]$上也连续，即$g(x)$在区间$[a,b]$上连续。

由于$g(a)=F(a)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(a-a)=F(a)-m\le0$，$g(b)=F(b)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(b-a)=F(b)-m\le0$，所以$g(x)$在区间$[a,b]$上的最小值为$0$。

若存在$c,d\in[a,b]$，使得$g(c)=g(d)=0$，则$F(c)-m=\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)$和$F(d)-m

继续证明：

由于$g(x)=F(x)-m-\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$，所以$F(x)=g(x)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(x-a)$。

将上式代入$F(c)=F(d)$，得到：

$$g(c)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)=g(d)+m+\dfrac{M-m}{b-a}(d-a)$$

化简得到：

$$g(c)-g(d)=\dfrac{M-m}{b-a}(d-c)$$

由于$g(c)=g(d)=0$，所以$\dfrac{M-m}{b-a}(d-c)=0$，即$d=c$。

因此存在$c\in[a,b]$，使得$g(c)=0$。

所以有$F(c)-m=\dfrac{M-m}{b-a}(c-a)$，即$f(c)=\dfrac{M-m}{b-a}$。

证毕。

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