高中数学基本不等式的题目求助
发表时间：2024-07-14 23:51:01
来源：网友投稿
b=1-a,b>-1,
所以0<a<2,设
y=（a^2+3)/a+b^2/(b+1)
=(a^2+3)/a+(1-a)^2/(2-a),
两边都乘以a(2-a),得
(2a-a^2)y=(a^2+3)(2-a)+a(1-a)^2
=6-3a+2a^2-a^3
.....+a-2a^2+a^3
=6-2a,
整理得ya^2-a(2+2y)+6=0,
a,y∈R,
所以△/4=(1+y)^2-6y=y^2-4y+1≥0,
所以y≤2-√3或y≥2+√3，
当a=(1+y)/y=3+√3(舍)或3-√3时取等号。
所以y的最小值是2+√3，为所求。
解2y=(a²+3)/a+b²/(b+1)
=a+3/a+(b-1)+1/(b+1)
=3/a+1/(b+1)
=3/a+1/(2-a)
=(6-2a)/[2a-a^2),
设u=3-a∈(1,3),则a=3-u,
y=2u/[2(3-u)-(3-u)^2]
=2u/(-3+4u-u^2)
=2/[4-(3/u+u)]
3/u+u≥2√3，当u=√3时取等号，
所以4-(3/u+u)∈(0,4-2√3],
所以y≥2/(4-2√3)=2+√3，
所以y的最小值是2+√3.
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