历届高中数学竞赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛

试题

一、填空题（每小题10分，共分）

、是这样的一个四位数，它的各位数字之和为；像这样各位数字之和为的四位数总共有个．

、设数列满足:,且对于其中任三个连续项,都有:.则通项．

、以抛物线上的一点为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形与，则线段与的交点的坐标为．

、设，则函数的最大值是．

、．

、正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作与侧棱都相交的截面，那么周长的最小值是．

、满足的一组正整数．

、用表示正整数的各位数字之和，则．

二、解答题（共题，合计分）

、（20分）、设，且满足：，求的值．

、（分）如图，的内心为，分别是

的中点，内切圆分别与边相切于；证明：三线共点．

、（分）在电脑屏幕上给出一个正边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的个顶点（其中是小于的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；

、证明：如果为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；

、当为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．

解答

、．提示：这种四位数的个数，就是不定方程满足条件，的整解的个数；即的非负整解个数，其中，易知这种解有个，即总共有个这样的四位数．（注：也可直接列举．）

、．提示：由条件得，

，

所以

，

故，而；

；

于是

；

由此得

.

、．提示：设，则

，

直线方程为

，

即，因为，则

，

即

，

代人方程得

，

于是点在直线上；

同理若设，则方程为

，

即点也在直线上，因此交点的坐标为．

、．提示：由

所以

，

即

，

当，即时取得等号．

、．提示：

．

、．提示：作三棱锥侧面展开图，易知∥，且由周长最小，得共线，于是等腰，，

，

即，，

，

所以由则

．

、．提示：由于是形状的数，所以必为奇数，而为偶数，设，，代人得

，

即

.①

而为偶数则为奇数，设，则

，

由①得，

，②

则为奇数且中恰有一个是的倍数，当，为使为奇数，且，只有，②成为

，

即，于是；

若，为使为奇数，且，只有，②成为，即，它无整解；

于是是唯一解：．

（另外也可由为偶数出发，使

为的倍数那么是的倍数，故是形状的偶数，依次取，检验相应的六个数即可．）

、．提示：添加自然数，这样并不改变问题性质；先考虑由到这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集，易知对于每个，首位为的“三位数”恰有个：，

这样所有三位数的首位数字和为

.

再将中的每个数的前两位数字互换，成为，得到的一千个数的集合仍是，

又将中的每个数的首末两位数字互换，成为，得到的一千个数的集合也是，由此知

．

今考虑四位数：在中，首位（千位）上，共有一千个，而在

中，首位（千位）上，共有一千个，因此

；

其次易算出.所以

．

、由

，

即

，

平方得

所以

，

即

，

所以

．

、如图，设交于点，连，由于中位线∥，以及平分，则，所以因，得共圆．所以；又注意是的内心，则

.

连，在中，由于切线，所以

，

因此三点共线，即有三线共点．

、证明：由于为质数，而，则，据裴蜀定理，存在正整数，使

,①

于是当为奇数时，则①中的一奇一偶．

如果为偶数为奇数，则将①改写成：

，

令，上式成为，其中为奇数，为偶数．

总之存在奇数和偶数，使①式成立；据①，

,②

现进行这样的操作：选取一个点，自开始，按顺时针方向操作个顶点，再顺时针方向操作接下来的个顶点……当这样的操作进行次后，据②知，点的颜色被改变了奇数次（次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（次）状态，其颜色不变；称这样的次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．

、当为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：

如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；

为此采用赋值法：将白点改记为“”，而黑点记为“”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以，而改变个点的颜色，即相当于乘了个（偶数个），由于；

因此当多边形所有顶点赋值之积为，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．

但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数，则①②中的为奇数，设是多边形的两个相邻顶点，自点开始，按顺时针方向操作个顶点，再顺时针方向操作接下来的个顶点……当这样的操作进行次后，据②知，点的颜色被改变了偶数次（次），从而颜色不变，而其余所有个顶点都改变了奇数次（次）状态，即都改变了颜色；再自点开始，按同样的方法操作次后，点的颜色不变，其余所有个顶点都改变了颜色；于是，经过上述次操作后，多边形恰有两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有个点的颜色不变．

现将这样的次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；

于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．

同理得如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“”，白点赋值为“”，证法便完全相同）．