高中数学不等式竞赛题
发表时间：2024-07-15 20:29:33
来源：网友投稿
这题用排序不等式及柯西不等式来证明。
排序不等式：若a1>=a2>=...>=an>=0;b1>=b2>=...>=bn>=0;
那么a1b1+a2b2+...+anbn>=(a1+a2+...+an)(b1+b2+...bn)/n.
柯西不等式：ak>=0,1=n^2.
数学归纳法：
n=1时,不妨设a>=b>=c,那么1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b),根据排序不等式得
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=(a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/3=((b+c)+(a+c)+(a+b))(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/6,而根据柯西不等式得到((b+c)+(a+c)+(a+b))(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/6>=3/2；
设n=k时，a^k/(b+c)+b^k/(a+c)+c^k/(a+b)>=3/2成立，则当n=k+1时，
由于a>=b>=c,那么a^k/(b+c)>=b^k/(a+c)>=c^k/(a+b),根据排序不等式得
a^k+1/(b+c)+b^k+1/(a+c)+c^k+1/(a+b)>=(a+b+c)(a^k/(b+c)+b^k/(a+c)+c^k/(a+b))/3>=3/2，故证毕
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