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高中数学外接球问题

发表时间：2024-07-16 21:59:39 来源：网友投稿

答案挺坑的他的意思是先求出△abc的外接圆，注意是△abc不是三棱柱，至于2/3×absin60°是一个公式(正三角形求外接圆半径公式)，后面的步骤是用了相似的原理求得△abc外接圆与球心的距离为1，算出球的半径，应为中间省略步骤过多，下面是我的证明过程，手机上打的，自己在纸上实现一下。

做ad⊥bc，d在bc上，做∠dba的角平分线，交ad于e，因为abc是正△，所以ad是bc的中垂线，be是ac的中垂线，所以e为△abc外接圆圆心(不是球心)，因为ad⊥bc，且abc是正△，所以d是bc中点，bd=1/2×bc=√3，ad=√(ab²-bd²)=3，因为be平分∠dba，所以∠dbe=30°，所以de=bd×tan∠dbe=1(三角函数，不要告诉我你不会)，所以△abc外接圆半径ae=ad-de=2，做ad延长线交球于f点，连接pf，因为af是△abc的外接圆的直径，所以af=2ae=4，因为pa⊥△abc，所以pa⊥ad，所以pa⊥af，所以pf是球的直径(这里是一个定理，圆上三点构成直角三角形，则三角形的斜边必过圆心)，pf=√(af²+pa²)=2√5，则球的半径r=√5，球的表面积公S=4πr²=20π

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