高中综合数学题求解！

发表时间：2024-07-16 22:14:07 来源：网友投稿

因为f（x）=|x-a|+1/x

当a=1时

当x>=1时，f（x）=x-1+1/x,所以f‘(x)=1-1/x^2>0

所以当1≤x≤2时，f（1）≤f（x）≤f（2），所以1≤f（x）≤3/2，

当1/2≤x≤1时，f(x)=1-x+1/x是一个减函数

所以f（1）≤f（x）≤f（1/2）所以1≤f（x）≤5/2

所以当a=1时，f（x）的值域为[1,5/2].

当a≤0时，因为x>0,所以f（x）=x-a+1/x，所以f‘(x)=1-1/x^2=0解得x=1

而当0<x<1时，f‘(x)<0,此时f（x）单调递减，所以f（1）≤f（x）<f（0），所以1/2<2-a≤f（x）

而当1<x时，f‘(x)<0,此时f（x）单调递减,所以f（1）≤f（x），所以1/2<2-a≤f（x）

所以f（x）≥1/2恒成立。

当a<=1时，

当x>=a时f（x）=x-a+1/x,所以f‘(x)=1-1/x^2=0解得x=1

当a<=x<1时，f‘(x)<0,此时f（x）单调递减，所以f（1）≤f（x）所以2-a≤f（x）

当x>1时，f‘(x)>0,此时f（x）单调递增，所以f（1）≤f（x）所以2-a≤f（x）

当x<a时，f（x）=a-x+1/x是一个减函数，所以f(1)<f（a）≤f（x）

所以要使得f（x）≥1/2恒成立，则1/2≤2-a，所以a≤3/2.

所以a≤1时，f（x）≥1/2恒成立。

当a>1时。

当x>=a时，f（x）=x-a+1/x是一个增函数，所以f（a）≤f（x），所以1/a≤f（x），

当x<a时，f（x）=a-x+1/x是一个减函数，所以f（a）<f（x），所以1/a<f（x），

所以要使得f（x）≥1/2恒成立，则1/2≤1/a，所以a≤2.

所以1<a≤2时，f（x）≥1/2恒成立。

综上所述当a≤2时，f（x）≥1/2恒成立。

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