当前位置：新励学网 > 应试教育 > 一道高中函数的奥赛题目

一道高中函数的奥赛题目

发表时间：2024-07-16 22:19:20 来源：网友投稿

（1）记g(x)=(f(x)+f(-x))/2，h(x)=(f(x)-f(-x))/2，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令f1(x)=g(x)+g(x+π)，x!=kπ+π/2,f2(x)=(g(x)-g(x+π))/2cosx;x=kπ+π/2时f2(x)=0;x!=kπ时,f3(x)=(h(x)-h(x+π))/2sinx;x=kπ时，f3(x)=0;

x!=kπ/2时f4(x)=(h(x)+h(x+π))/2sin2x;x=kπ/2时f4(x)=0;，其中k为任意整数。

容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。

（2）下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当x!=kπ+π/2时，显然成立；当x=kπ+π/2时带入得g(x+π)=g(kπ+3π/2)=g(kπ+3π/2)-2(k+1)π)=g((-kπ-π/2)=g(kπ+π/2)=g(x),同样成立，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。

下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当想x!=kπ/2时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当x=kπ+π/2时，h(x+π)=h(kπ+3π/2)=h(kπ+3π/2)-2(k+1)π)=h(-kπ-π/2)=-h(kπ+π/2)=-h(x),

，故f3(x)sinx=h(x)，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

于是对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述结论得证

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！