高中数学反证法例题

　　反证法首先假设某命题不成立(即在原命题的题设下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。下面由我给你带来关于高中数学反证法例题，希望对你有帮助!

　　高中数学反证法例题一

　　选择题

　　1.否定结论至多有两个解的说法中，正确的是(　　)

　　A.有一个解

　　B.有两个解

　　C.至少有三个解

　　D.至少有两个解

　　[答案]　C

　　[解析]　在逻辑中至多有n个的否定是至少有n+1个，所以至多有两个解的否定为至少有三个解，故应选C.

　　2.否定自然数a、b、c中恰有一个偶数时的正确反设为(　　)

　　A.a、b、c都是奇数

　　B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数

　　C.a、b、c都是偶数

　　D.a、b、c中至少有两个偶数

　　[答案]　B

　　[解析]　a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数;②有两个奇数，一个偶数;③有一个奇数，两个偶数;④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为全是奇数或至少有两个偶数.故应选B.

　　3.用反证法证明命题三角形的内角中至少有一个不大于60时，反设正确的是(　　)

　　A.假设三内角都不大于60

　　B.假设三内角都大于60

　　C.假设三内角至多有一个大于60

　　D.假设三内角至多有两个大于60

　　[答案]　B

　　[解析]　至少有一个不大于的否定是都大于60.故应选B.

　　4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设正确的是(　　)

　　A.假设a，b，c都是偶数

　　B.假设a、b，c都不是偶数

　　C.假设a，b，c至多有一个偶数

　　D.假设a，b，c至多有两个偶数

　　[答案]　B

　　[解析]　至少有一个反设词应为没有一个，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数.

　　5.命题△ABC中，若A>B，则a>b的结论的否定应该是(　　)

　　A.a

　　B.a≤b

　　C.a=b

　　D.a≥b

　　[答案]　B

　　[解析]　a>b的否定应为a=b或a

　　6.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)

　　A.一定是异面直线

　　B.一定是相交直线

　　C.不可能是平行直线

　　D.不可能是相交直线

　　[答案]　C

　　[解析]　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.

　　7.设a，b，c(-，0)，则三数a+1b，c+1a，b+1c中(　　)

　　A.都不大于-2

　　B.都不小于-2

　　C.至少有一个不大于-2

　　D.至少有一个不小于-2

　　[答案]　C

　　[解析]　a+1b+c+1a+b+1c

　　=a+1a+b+1b+c+1c

　　∵a，b，c(-，0)，

　　∴a+1a=--a+-1a≤-2

　　b+1b=--b+-1b≤-2

　　c+1c=--c+-1c≤-2

　　∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

　　∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2，故应选C.

　　8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)

　　A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

　　B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

　　C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

　　D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

　　[答案]　B

　　[解析]　对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

　　则有l∥m，与l、m异面矛盾;对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥);对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一.

　　9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：是乙或丙获奖，乙说：甲、丙都未获奖，丙说：我获奖了，丁说：是乙获奖了，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是(　　)

　　A.甲

　　B.乙

　　C.丙

　　D.丁

　　[答案]　C

　　[解析]　因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.

　　10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2)，试证数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1，当此题用反证法否定结论时，应为(　　)

　　A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1

　　B.存在正整数n，使xn=xn+1

　　C.存在正整数n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1

　　D.存在正整数n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

　　[答案]　D

　　[解析]　命题的结论是对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列，其反设是存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列.故应选D.

　　高中数学反证法例题二

　　填空题

　　11.命题任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形的结论的否定是________.

　　[答案]　没有一个是三角形或四边形或五边形

　　[解析]　至少有一个的否定是没有一个.

　　12.用反证法证明命题a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除，那么反设的内容是________________.

　　[答案]　a，b都不能被5整除

　　[解析]　至少有一个的否定是都不能.

　　13.用反证法证明命题：一个三角形中不能有两个直角的过程归纳为以下三个步骤：

　　①A+B+C=90+90+C>180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A=B=90不成立;

　　②所以一个三角形中不能有两个直角;

　　③假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=B=90.

　　正确顺序的序号排列为____________.

　　[答案]　③①②

　　[解析]　由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.

　　14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

　　假设______________.设全体质数为p1、p2、、pn，令p=p1p2pn+1.

　　显然，p不含因数p1、p2、、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数.这表明，除质数p1、p2、、pn之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.

　　[答案]　质数只有有限多个　除p1、p2、、pn之外

　　[解析]　由反证法的步骤可得.

　　高中数学反证法例题三

　　解答题

　　15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.

　　求证：a>0，b>0，c>0.

　　[证明]　用反证法：

　　假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

　　不妨设a0，则由a+b+c>0，

　　可得c>-(a+b)，

　　又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)

　　ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab

　　即ab+bc+ca<-a2-ab-b2

　　∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0，即ab+bc+ca<0，

　　这与已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假设不成立.

　　因此a>0，b>0，c>0成立.

　　16.已知a，b，c(0,1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.

　　[证明]　证法1：假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，

　　同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12.

　　三式相加，得

　　(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32，

　　即32>32，矛盾.

　　所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.

　　证法2：假设三个式子同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，三式相乘得

　　(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①

　　因为0

　　同理，0

　　所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②

　　因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立.

　　17.已知函数f(x)是(-，+)上的增函数，a，bR.

　　(1)若a+b≥0，求证：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

　　(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.

　　[解析]　(1)证明：∵a+b≥0，∴a≥-b.

　　由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).

　　又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).

　　两式相加即得：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

　　(2)逆命题：

　　f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.

　　下面用反证法证之.

　　假设a+b<0，那么：

　　a+b<0?a<-b?f(a)

　　?f(a)+f(b)

　　这与已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命题得证.

　　18.(2010?湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

　　[解析]　假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs=br+bt成立.

　　∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.

　　两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，

　　由于r

　　故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.