关于初中数学的题目

希望对你有帮助

（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，

则BE=FG=BG=x。

∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。

∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。

∴，即。

解得：x=2，即BE=2。

（2）存在满足条件的t，理由如下：

如图②，过点D作DH⊥BC于H，

则BH=AD=2，DH=AB=3，

由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，

∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。

∴，即。∴ME=2﹣t。

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。

过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，

∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+t2=t2+t+1。

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，

即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，

即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。

∴t=﹣3+。

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，

即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。

综上所述当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；

（3）。

（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．

（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．

（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：

连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。

∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。

又∵CD=AB=3，BC=4，∴。

∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=。

∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，

∴BE•CK=PR•BE＋PQ•BC。

又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。

又∵CK=，∴PR＋PQ=。

（3）图3中的结论是PR－PQ=．

【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。

【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。

（3）图3中的结论是PR－PQ=125。

连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC为两个底，PR，PQ分别为高，从而PR－PQ=。

（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。

又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。

（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：

如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。

又∵AB=BC，∴BC=BQ。

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。

又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。

又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。

∴。

又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴。

∵，∴当x=2时，S有最小值6。

（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，

∴OC=OP+PC=4+4=8。[来源:Zxxk.Com]

又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。

t的取值范围为：0＜t＜4。

（2）结论：△AEF的面积S不变化。

∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。

∴，即，解得CE=。

由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。

S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE－OA•OE

=[4＋（8－t）]×8+（8－t）•－×4×（8＋）。

化简得：S=32为定值。

所以△AEF的面积S不变化，S=32。

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。

由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。

∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8=t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，

解得：t1=6+2，t2=。

由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。

∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com]

（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD

以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，

连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH

的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中

0≤x≤2.5.

⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；

⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。

∴，即。∴y关于x的函数关系式为。

当y=3时，，解得:x=2.5。

（2）∵，

∴为常数。

（3）延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。

∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。

∴∠GDP=∠ADQ=45°。

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。

∴，化简得：，解得：。

∵0≤x≤2.5，∴。

在Rt△DGP中，。

（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC和△ACD为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，

∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。

∴△CEF的面积的最大值是。

（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）。

（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。

在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。

∴。

又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。

∴。

（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）①（6，2）。②30。③（3，3）。

（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。

（3）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得∴EF=（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，

。

综上所述S与x的函数关系式为：

。

（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，

问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：

∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

∴∠DPC＝90°。

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2。

设PB＝x，则AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。

∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。

问题2：存在。理由如下：

如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，

则G是DC的中点。

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。

∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。

∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。

又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。

∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

问题3：存在。理由如下：

如图3，设PQ与DC相交于点G，

∵PE∥CQ，PD＝DE，∴。

∴G是DC上一定点。

作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。

∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，

∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴。

∴G是DC上一定点。

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°

∠PAG＝∠QBG，

∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，

∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。

过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。

∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。

∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。

∴CK＝CH•cos45°＝(n＋4)，

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为(n＋4)。

（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。

在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。

（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。

∴，即。∴。

∵

∴当时，y的值最大，最大值是。

（2）设BP=x,由（2）得。

∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。

∴，即，

化简得。

解得或（不合题意，舍去）。

∴当BP=时，PE∥BD。