求高中数学老师解答

解答要点：

1.问题本质：是将Pn={1,2,3,…,n},n∈N*分拆成2个互不相交的子集A、B(题中的补集)的并集，且A、B均满足:若x在其中，则2x一定不在其中。求满足条件的的分拆方法种数f(n).

2.分拆Pn={1,2,3,…,n},n∈N*成A、B且满足要求的操作步骤：

（同步取P8={1,2,3,…,8}示范）

(1)任取偶数m∈Pn,则存在唯一k∈N*,使m=r*(2^k),其中r是奇数，即每一个偶数m有唯一一个奇数与它对应。

示范:2=1*2,4=1*(2^2),6=3*2,8=1*(2^3)

(2)用:[p]表示奇数p和(1)中r=p的偶数组成的集合，可将Pn按其中的奇数p构造出分类集合：[1],[3],[5],…

示范:[1]={1,2,4,8},[3]={3,6},[5]={5},[7]={7}

(3)对(2)中的每个分类集[p]，把它分拆成2个互不相交的子集A1、B1的并集，且都满足:若x在其中，则2x一定不在其中。（A1可是Φ，或单元素集，或以4为公比的数列为元素的集合）

示范:[1]={1,2,4,8}={1,4}∪{2,8},[3]={3}∪{6},[5]=Φ∪{5},[7]=Φ∪{7}

注意：如[p]中元素较多时，A1就是以p为首项,4为公比的数列组成的集合，B1就是以2p为首项,4为公比的数列组成的集合。

(4)构造A：分别从(3)中每个奇数类集[p]的2个组成子集中任取1个，它们的并集就是一个满足条件的A。

示范:对P8,A可为：

{1,4}∪{3}∪Φ∪Φ={1,4,3}

{1,4}∪{3}∪Φ∪{7}={1,4,3,7}

{1,4}∪{3}∪{5}∪Φ={1,4,3,5}

{1,4}∪{3}∪{5}∪{7}={1,4,3,5,7}

{1,4}∪{6}∪Φ∪Φ={1,4,6}

{1,4}∪{6}∪Φ∪{7}={1,4,6,7}

{1,4}∪{6}∪{5}∪Φ={1,4,6,5}

{1,4}∪{6}∪{5}∪{7}={1,4,6,5,7}

{2,8}∪{3}∪Φ∪Φ={2,8,3}

{2,8}∪{3}∪Φ∪{7}={2,8,3,7}

{2,8}∪{3}∪{5}∪Φ={2,8,3,5}

{2,8}∪{3}∪{5}∪{7}={2,8,3,5,7}

{2,8}∪{6}∪Φ∪Φ={2,8,6}

{2,8}∪{6}∪Φ∪{7}={2,8,6,7}

{2,8}∪{6}∪{5}∪Φ={2,8,6,5}

{2,8}∪{6}∪{5}∪{7}={2,8,6,5,7}

此时f(8)=2^4=16

3.求f(n):在要点2第(4)步中，每个奇数类有且仅有2种取法，其取法种数是2^q,q是Pn中奇数的个数。

所以当n是偶数时f(n)=2^(n/2),当n是奇数时f(n)=2^((n+1)/2)

本题确实是一道难题，出题人给出的答案许多人都看不懂，我花了较多的时间思考，希望能给出一种让大多数人能看懂的方法，其过程就显得较长，也希望对你有点帮助！

如果还有什么不明白的地方，可一起商讨，让我们共同提高。