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高中数学竞赛数论范围

发表时间：2024-07-19 23:08:26 来源：网友投稿

一试

　　全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

　　二试

　　1、平面几何

　　基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

　　补充要求：面积和面积方法。

　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

　　几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

　　几何不等式。

　　简单的等周问题。了解下述定理：

　　在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

　　在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

　　在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

　　在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

　　几何中的运动：反射、平移、旋转。

　　复数方法、向量方法。

　　平面凸集、凸包及应用。

　　2、代数

　　在一试大纲的基础上另外要求的内容：

　　周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

　　三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

　　第二数学归纳法。

　　递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

　　函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。

　　n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

　　复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

　　圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

　　一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

　　简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

　　3、立体几何

　　多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

　　正多面体，欧拉定理。

　　体积证法。

　　截面，会作截面、表面展开图。

　　4、平面解析几何

　　直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

　　二元一次不等式表示的区域。

　　三角形的面积公式。

　　圆锥曲线的切线和法线。

　　圆的幂和根轴。

　　5、其它

　　抽屉原理。

　　容斤原理。

　　极端原理。

　　集合的划分。

　　覆盖。

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