荆州市2002年初中数学竞赛答案

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8:30-10:30)

一、选择题(本题42分，每小题7分)

1、已知a=

-1，b=2

-

，c=

-2，那么a，b，c的大小关系是(

)

(A)

a<b<c

(B)

b<a<c

(C)

c<b<a

(D)c<a<b

2、若m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则m3-2mn+n3的值为(

)

(A)

1

(B)0

(C)-1

(D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则(

)

(A)M>0

(B)M=0

(C)M

<0

(D)不能确定M为正、为负或为0

4、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为(

)

(A)18

(B)20

(C)22

(D)24

5、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1与圆O2的半径之比为(

)

(A)2:5

(B)1:2

(C)1:3

(D)2:3

6、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k完全平方数的和，那么k的最小值为(

)

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

二、填空题(每小题7分，共28分)

1、已知a<0，ab<0，化简，

.

2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有

件。

4、设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对(x，y)共有

对。

三、(本题满分70分)

1、(本题满分20分)

已知:a

，b，c三数满足方程组

，试求方程bx2+cx-a=0的根。

2、(本题满分25分)

如图等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P`的对称点，证明:P'在△ABC的外接圆上。

3、(本题满分25分)

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

二、1、

2、

3、12

4、27

三、1、由方程组得:a、b是方程x2-8x+c2-

c+48=0的两根

△=-4(c-

)2≥0，c=4

a=b=4

所以原方程为

x2+

x-1=0

x1=

，x2=

2、连结BP'、P'R、P'C、P'P

(1)证四边形APPQ为平行四边形

(2)证点A、R、Q、P'共圆

(3)证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形

(4)证∠P'BA=∠ACP'，原题得证

3、(1)若r=0，x=

，原方程无整数根

(2)当r≠0时，x1+x2=

x1x2=

消去r得:4x1x2-2(x1+x2)+1=7

得(2x1-1)(2x2-1)=7

由x1、x2是整数得:r=

，r=1