高中数学：导数题
发表时间：2024-07-20 02:09:37
来源：网友投稿
讨论x的取值范围
①当x=0时，不等式2f(x)+xf'(x)>x^2为2f(0)>0，即f(0)>0；
②当x>0时，不等式2f(x)+xf'(x)>x^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)>x^3>0，
即[x^2f(x)]′>x^3>0，可得x^2f(x)在区间（0,+∞）上单调递增，
根据单调性定义，有x^2f(x)>0，又x^2>0，故当x>0时，f(x)>0；
③当xx^2两边同时乘以x为2xf(x)+x^2f'(x)<x^3<0，
即[x^2f(x)]′<x^3<0，可得x^2f(x)在区间（-∞,0）上单调递减，
根据单调性定义，有x^2f(x)>0，又x^2>0，故当x0.
综合①②③可知，在R上f(x)>0恒成立，故选A
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