高中数学竞赛复数
发表时间：2024-07-20 05:30:59
来源：网友投稿
解：已知：实系数方程2x^4+ax^3+9x^2+ax+2=0的四个根都是虚数，(且a为整数比较合题意）
可以确定：方程的结构形式为：(2x^2+mx+1)(x^2+nx+2)=0（其它形式不合题意）
方程左边展开：4x^4+(2n+m)x^3+(5+mn)x^2+(2m+n)x+2=0
比较系数：2n+m=a.......(1)
n+2m=a.......(2)
mn+5=9.......(3)
解方程组：由（1）代入（2）得：m=a/3,n=a/3
代入（3）得：a=±6m=±2，n=±2，
所以原方程可化为：(2x^2+2x+1)(x^2+2x+2)=0
由二次方程的求根公式得：
x(1,2)=-1/2±(1/2)i,x(3,4)=-1±i（并且模均不为1）
(2x^2-2x+1)(x^2-2x+2)=0
x(1,2)=1/2±(1/2)i,x(3,4)=1±i（并且模均不为1）
所以a的取值范围是±6
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